Insieme connesso ma interno disconnesso.

[Studente Anonimo]

Sicuramente è falso che se ho un insieme \( A \) connesso, allora \( int(A)\) è connesso, prendiamo ad esempio la topologia euclidea su \( \mathbb{R}^2 \) e due palle chiuse di raggio \( 1 \) una centrata in \( (-1,0) \) e l'altra centrata in \((1,0) \), sono path-connesse, sono tangenti in \((0,0) \) quindi posso passare da una palla all'altra con un cammino continuo che passa dall'origine. Quindi sono connesse.

Consideriamo però il caso in cui \( A \subset \mathbb{R} \), sempre con la topologia euclidea, non riesco a trovare un controesempio. Quindi ho iniziato a pensare che sia vero su \( \mathbb{R} \).
Mi chiedevo però se un esempio simile potesse funzionare su \( \mathbb{R} \).
Nel senso che se prendo \( [-1,0] \) ha interno \( (-1,0) \), e se prendo \( [0,1] \) ha interno \( (0,1) \) ma la loro unione \( [-1,1] \) ha interno \((-1,1) \) che è connesso e non \( (-1,0) \cup (0,1) \) che è disconnesso.
Mi domandavo cosa cambiasse sostanzialmente dal caso \( \mathbb{R}^2 \), in un certo senso i due intervalli sono due palle tangenti di \( \mathbb{R} \).

[dissonance]

È una buona osservazione. Gli insiemi connessi di \(\mathbb R\) sono solo gli intervalli, ecco la differenza. Perché la topologia di \(\mathbb R\) viene da un ordine, quella di \(\mathbb R^2\) invece no. In particolare, su \(\mathbb R\) è vero che un insieme connesso ha l'interno connesso (o vuoto).