Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Riporto la prima parte della traccia di un esercizio:
Si consideri l'applicazione lineare $f_A: RR^4toRR^4$ definita dalla matrice
$A=[(-1,1,0,0),(1,0,1,0),(0,1,1,0),(0,0,0,0)]$
In questo esercizio non capisco una cosa: ha senso considerare un'applicazione in cui l'ultima riga e l'ultima colonna della matrice associata sono nulle? Se sì, in cosa si traduce? Sicuramente una variabile è sempre nulla, giusto?
salve ragazzi,
se ho una matrice A, n x n, C, p x n, e
$ O = [ ( C ),( CA ),( ... ),( CA^(n-1) ) ] $,
e supposto che il rango della matrice O sia massimo, posso dire con certezza che anche il rango della matrice
$ O' = [ ( C ),( CA^(j_(1)) ),( ... ),( CA^(j_(n-1)) ) ] $ con $ j_i,i=1,...,n-1 $ e $ j_i!=j_k ,i!=k $
sia massimo? o almeno, se non massimo, stesso rango?
Sfrutterei il teorema di Caylay-Hamilton per riscrivere le potenze di A con esponente pari o superiore a n come combinazione lineare delle potenze con esponente al più n-1, poi, considerato ...
Buonasera, sto studiando le forme bilineari simmetriche ma mi è venuto un piccolo dubbio :
Mettiamoci in $bbK^2 \X\ bbK^2$
Se ho una forma bilineare simmetrica del tipo ${(x_1,x_2) , (y_1,y_2)} -> x_1y_1 + x_2y_2$ e suppongo di voler effettuare un cambiamento di base ${u_1 = (1,0) , u_2 =(1,1)}$, rispetto alla base canonica $e_1=(1,0), e_2=(0,1)$
devo scrivere un espressione di questo tipo :
$(1)\ x_1e_1 +x_2e_2 = X_1u_1 + X_2u_2$, dove se $x$ e $y$ rappresentano le coordinate rispetto alla base canonica, allora ...
Ho questo esercizio, di cui non ho il risultato:
Si consideri lo spazio vettoriale reale dei polinomi di grado massimo 2
$V={p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2|a_0,a_1,a_2 in RR} $
Definiamo l'applicazione $<,>: V×V to RR$ ponendo
$<p,q> =p(0)q(0)+p(1)q(1)+p(-1)q(-1)$, che è un prodotto scalare definito positivo.
Determinare una base del sottospazio $W={p(x) inV|<p(x), x^2> =0}$
Io ho sviluppato i calcoli svolgendo il prodotto scalare sopra definito tra un polinomio generico di grado 2 e $x^2$ ottenendo il coefficiente $a_1$ libero e ...
Salve a tutti, vorrei avere per favore un aiuto su quest'esercizio:
Considerata la retta $r$: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} 2x-t=0 &\\ 3z+2y=1 &\\ x+y=-1 & \end{array}\right.\)
Determinare
a) una retta $s$ e un piano $pi$, entrambi ortogonali a $r$ ed aventi $(0, 0, -1, 1)$ come unico punto in comune
b) una retta $q$ parallela a $pi$, sghemba con r e s
Ora per il punto a credo di averlo risolto ...
Ciao. Ho un esercizo in tre punti collegati tra loro.
(1) Calcolare la segnatura della matrice \[B_t := \begin{pmatrix}
0 & 0 & -t & 0 \\
0 & t^2-1 & 0 & 0 \\
-t & 0 & -t & t \\
0 & 0 & t & -t
\end{pmatrix}\] al variare di \(t \in \mathbb R\).
(2) Dire per quali \(t\) esistono \(v \in \mathbb R^4\), \(v \ne 0\) tali che \(v^T B_t v = 0\).
(3) Dire se esistono dei valori di \(t\) per cui esiste un sottospazio \(U\) di \(\mathbb R^4\) di dimensione almeno \(2\) tale che ...
A lezione il teorema ci è stato così enunciato.
"La segnatura è invariante per congruenze. Equivalentemente date $S$=diag(1,...,1,-1,....,-1,0,...0) e $S'$=diag(1,...,1,-1,....,-1,0,...0) allora $S$ è congruente a $S'$ se e solo se le due matrici hanno la medesima segnatura".
Quella che non capisco della dimostrazione (e sui libri trovo un enunciato formulato diversamente) è questo:il mio prof ha scritto semplicemente che è OVVIO il fatto ...
A lezione il mio professore ha dimostrato il seguente teorema. Incuriosito, ho provato a cercarlo su internet ma non conoscendone il nome non ho trovato nessun risultato. Qualcuno sa come si chiama o dove trovarlo?
Teorema:
Sia A una matrice 2x2 non diagonalizzabile e sia il polinomio caratteristico f(x) = (x-p)^2. Allora, esiste una matrice P 2x2 tale che
$$ P^{-1} A P = \begin{bmatrix}
p & 1 \\
0 & p
\end{bmatrix}
$$
Grazie a questo teorema poi si riesce a ...
Considerando i punti $A= (−1, 2, 0, −3)$ ,$(B)= (0, 1, −2, 3)$ ,$(C)= (−1, 2, −3, 0)$
determinare il piano $pi$ passante per i punti $A$, $B$, $C$.
Sapendo che un piano per tre punti non allineati è dato da ${P_i+ lamda[P_k−P_j]_≡+ mu[P_j−P_i]_≡\in A^n|lamda, mu \in R}$
Io ho provato a fare così:
$( ( t ),( x ),( y ),( z ) )=( ( -1 ),( 2 ),( 0 ),( -3 ) )+lamda( ( -1-0 ),( 2-1 ),( -3-(-2) ),( 0-3 ) )+mu( ( 0-(-1) ),( 1-2 ),( -2-0 ),( 3-(-3) ) )$
tuttavia quando vado a cercare di risolvere il sistema gli scalari $lamda$ e $mu$ non si eliminano.
E' completamente sbagliato il procedimento?
Ragazzi ho un dubbio sul seguente esercizio:
Siano v1 = (1,0,0,1), v2 = (0,1,0,1) e v3 = (0,0,1,1) $in$ $RR^4$ e sia V = $L$(v1,v2,v3). E' dato l'endomorfismo F: V $rarr$ V definito da:
f(v1) = v1 + 2v2
f(v2) = -kv1 +kv2 +2kv3
f(v3) = v1 + v2 - v3
con k$in$ $RR$
La matrice che mi viene fuori è questa:
$((1,-k,1),(2,k,1),(0,2k,-1),(2,2k,1))$
Non è una matrice quadrata ed ad un punto mi chiede di calcolarne la semplicità al variare di k ...
Ciao!
non riesco a concludere questa dimostrazione
sia $X$ un $k$ spazio vettoriale(dimensione finita intanto), $WleqX$ un sottospazio non banale e $varphi:XtimesX->k$ una forma bilineare simmetrica non degenere, allora $W_(0)^(_|_)={ f in X^(star): f(y)=0_k, forall y in W }$ è isomorfo a $W^(_|_)={x in X: varphi(x,y)=0, forally in W}$
ho considerato l'applicazione $L(x)=varphi(x,*)$
l'iniettività viene dal fatto che $varphi$ è non degenere
non riesco a dimostrare che è suriettiva, pensavo di utilizzare una ...
Sia \( X = \bigvee _{1}^{\infty} S^1 \) il wedge di un numero numerabile di copie di cerchi \( S^1 \) e \( Y \) gli anelli hawaiani:
\[ Y = \bigcup_{n=0}^{\infty} \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid (x- 1/n)^2 + y^2 = 1/n^2 \} \]
1) Studiare le proprietà di compatezza di \(X \) e \(Y \).
2) Descrivere gli aperti di \(x \) e \(Y \).
3) Dimostra che \(X \) e \(Y \) non sono omeomorfi.
1) Direi che prendendo \( \mathbb{R}^2 \) con la topologia euclidea abbiamo che \( Y \) con la topologia sottoinsieme ...
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Studente Anonimo
20 feb 2020, 11:21
Ciao a tutti, ho un dubbio riguardo il metodo per trovare la distanza tra due rette parallele. Conosco già il metodo classico per cui, prese due rette s e r, si calcola un punto appartenente ad s e poi si trova la distanza di tale punto da r.
Vorrei sapere se funziona anche il mio ragionamento seguente: data una retta s, trovo il piano π perpendicolare ad s. Calcolo il punto d'intersezione tra s e π. Trovo poi il punto d'intersezione tra r e π e calcolo la distanza tra questi due punti ...
Vi poso un esercizio facente parte di una prova di Algebra lineare e Geometria, riguardo il quale non so quale sia la giusta argomentazione:
Sia V uno spazio vettoriale e sia H un sottoinsieme di V avente un numero finito di oggetti n. Per quali valori di n il sottoinsieme H di V é un sottospazio vettoriale di V?
$ 1/z + 1/w = 1/(z+w) $
Descrivere tutte le soluzioni $ (z, w) $ con $ z,w in CC $.
L'esercizio fa parte di un'introduzione alla geometria complessa dove si è appena mostrato come un numero complesso $ a + ib $ si può rappresentare con la matrice di rotazione $ ( ( a , -b),( b , a ) ) $, quindi va risolto con un ragionamento geometrico o di algebra lineare su questo tipo di matrici.
Buongiorno a tutti.
Ho una domanda banalissima, ma a scanso di equivoci chiedo lo stesso .
Consideriamo uno spazio vettoriale finito dimensionale $V$ sul campo $\mathbb{R}$, e una sua base $B={b_1,...,b_n}$.
La norma euclidea su $V$ è per definizione: $||.|| : V \to \mathbb{R} | ||v||=\sqrt{v_1^2+...+v_n^2}$ dove $v_1,...,v_n \in \mathbb{R}$ sono le coordinate di $v$ rispetto alla base $B$ (cioè $v=v_1b_1+...+v_nb_n$).
La domanda è: il valore della norma euclidea ...
ciao a tutti! ho un problema con il punto c) di questo esercizio, vi lascio i risultati del a) e b) che quelli riesco a calcolarli, vi chiedo se mi potete spiegare il punto c) . grazie mille!!!
Si consideri il sottospazio W di R4 definito da:
W=[ (x,y,z,t) ∈R^4|x−y+z−t=2x−y−3t=0 ].
(a) Si determini la dimensione di W e di W⊥. -> dimW=2 dimW⊥=2
(b) Si determini una base ortogonale B1 di W .-> B1=[(2,-3,0,1);(-1,-2,-7,-4)]
(c) Si determini una base ortogonale B2 di W ⊥
Ciao, avrei bisogno di aiuto per risolvere questo esercizio:
"Nello spazio vettoriale $R^3$ dotato del prodotto scalare euclideo usuale si considerino il vettore $v=(1,0,3)$ e, al variare di t, il vettore $w=(1,3,-t)$.
1) per t=2 determinare la proiezione ortogonale di w su .
2) per ogni valore di t determinare la proiezione ortogonale di w sul sottospazio ortogonale a v."
Non ho davvero idea di come fare.
Credo che corrisponda a v (come valori) ma a quel punto ...
Salve a tutti, ho un problema con questo esercizio:
data l'applicazione \(\displaystyle f: (t, x, y, z)\in R^4 \rightarrow (t-x+y, t-y+z, x-y+z) \in R^3 \)
utilizzando le basi canoniche di $R^3$ e $R^4$ dimostrare che $f$ è un'applicazione lineare di spazi lineari.
So che dovrei utilizzare un teorema che mi garantisce che questo procedimento è corretto, ed avrei pensato al teorema fondamentale delle applicazioni lineari, solo che non riesco proprio a ...
Ciao, sto passando le ore su un esercizio che in realtà è molto semplice perciò vi chiedo aiuto/conferma.
"In $R^3$ dotato del prodotto scalare usuale si considerino i sottospazi $T={(x,y,z)€R^3 t.c. x+y+z=0$ e $V=<(1,0,1),(1,-1,2)>$.
1) Determinare un sistema che abbia V come soluzioni. Determinare l'intersezione tra V e Ti.
2) Trovare una base ortonormale di T. Determinare la proiezione ortogonale di (3,1,1) su V e su T.
3) Determinare due sottospazi (non nulli) L e L' tali che L+T=L+V=L'+T=L'+V ...
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