Esercizio geometria euclidea
Salve a tutti 
mi serve un aiutino per trovare una retta nello spazio passante per un punto, parallela ad un piano ed ortogonale ad una retta.
L'esercizio è il seguente:
Fissato un sistema di riferimento cartesiano RC(O,A1,A2,A3) in E^3, trova equazioni parametriche e cartesiane della retta r passante per il punto P=(2,3,-1), parallela al piano $\alpha$ di equazione $4X+Y+Z=27$ e ortogonale alla retta s di equazionioni $X-6Z=8, X-4Y+2Z=-1$. Allora io ho ragionato in questo modo:
Una retta nello spazio è data dall'intersezione di due piani. Trovare quindi l'equazione cartesiana della retta equivale quindi a trovare le equazioni cartesiane di due piani che soddisfano le richieste dell'esercizio.
Ho determinato infatti il piano $\beta$ passante per il punto P=(2,3,-1) e parallelo al piano $\alpha$ e l'ho determinato prendendo il fascio di piani paralleli, cioè $4X+Y+Z+K=0$, inserendo le coordinate di P ed ho ottenuto il piano $\beta$: $4X+Y+Z-10=0$. Poi ho determinato l'altro piano $\gamma$ passante per il punto P ed ortogonale alla retta r e dopo i vari passaggi ho ottenuto il piano $\gamma$: $6X-2Y-Z-7=0$. La retta cercata avrà equazione cartesiana data dall'intersezione di questi due piani. Ma non mi trovo con i risultati del libro dato che il libro mi dice che la retta ha equazione cartesiana $2X+Y=7, Y-Z=4$. Dove sto sbagliando? Scusate per io disturbo e grazie in anticipo!
mi serve un aiutino per trovare una retta nello spazio passante per un punto, parallela ad un piano ed ortogonale ad una retta.L'esercizio è il seguente:
Fissato un sistema di riferimento cartesiano RC(O,A1,A2,A3) in E^3, trova equazioni parametriche e cartesiane della retta r passante per il punto P=(2,3,-1), parallela al piano $\alpha$ di equazione $4X+Y+Z=27$ e ortogonale alla retta s di equazionioni $X-6Z=8, X-4Y+2Z=-1$. Allora io ho ragionato in questo modo:
Una retta nello spazio è data dall'intersezione di due piani. Trovare quindi l'equazione cartesiana della retta equivale quindi a trovare le equazioni cartesiane di due piani che soddisfano le richieste dell'esercizio.
Ho determinato infatti il piano $\beta$ passante per il punto P=(2,3,-1) e parallelo al piano $\alpha$ e l'ho determinato prendendo il fascio di piani paralleli, cioè $4X+Y+Z+K=0$, inserendo le coordinate di P ed ho ottenuto il piano $\beta$: $4X+Y+Z-10=0$. Poi ho determinato l'altro piano $\gamma$ passante per il punto P ed ortogonale alla retta r e dopo i vari passaggi ho ottenuto il piano $\gamma$: $6X-2Y-Z-7=0$. La retta cercata avrà equazione cartesiana data dall'intersezione di questi due piani. Ma non mi trovo con i risultati del libro dato che il libro mi dice che la retta ha equazione cartesiana $2X+Y=7, Y-Z=4$. Dove sto sbagliando? Scusate per io disturbo e grazie in anticipo!
Risposte
Ciao Benedetta.
Il ragionamento è corretto.
E anche questo piano è corretto
Questo però no. La direzione di $s$ è $(6,2,1)$ da cui $gamma: 6X+2Y+Z=17 $
Mettendo insieme si ottiene la retta $ r:{ ( 6X+2Y+Z=17 ),( 4X+Y+Z=10 ):} $
Questa è una soluzione perfettamente valida ma si può semplificare. Per esempio sottraendo le due equazioni si ottiene $2X+Y=7$
Sostituendo $y=7-2x$ nella seconda invece si ottiene $2X+Z=3$
Quindi $ r:{ ( 2X+Y=7 ),( 2X+Z=3 ):} $ è una soluzione più semplice.
Infine sottraendo le due equazioni si ottiene $Y-Z=4$ quindi anche:
$ r:{ ( 2X+Y=7 ),( Y-Z=4 ):} $
$ r:{ ( Y-Z=4 ),( 2X+Z=3 ):} $
sono altre due soluzioni (semplificate) possibili.
Il ragionamento è corretto.
"7benedetta":
ho ottenuto il piano $\beta$: $4X+Y+Z-10=0$.
E anche questo piano è corretto
"7benedetta":
dopo i vari passaggi ho ottenuto il piano $\gamma$: $6X-2Y-Z-7=0$.
Questo però no. La direzione di $s$ è $(6,2,1)$ da cui $gamma: 6X+2Y+Z=17 $
Mettendo insieme si ottiene la retta $ r:{ ( 6X+2Y+Z=17 ),( 4X+Y+Z=10 ):} $
Questa è una soluzione perfettamente valida ma si può semplificare. Per esempio sottraendo le due equazioni si ottiene $2X+Y=7$
Sostituendo $y=7-2x$ nella seconda invece si ottiene $2X+Z=3$
Quindi $ r:{ ( 2X+Y=7 ),( 2X+Z=3 ):} $ è una soluzione più semplice.
Infine sottraendo le due equazioni si ottiene $Y-Z=4$ quindi anche:
$ r:{ ( 2X+Y=7 ),( Y-Z=4 ):} $
$ r:{ ( Y-Z=4 ),( 2X+Z=3 ):} $
sono altre due soluzioni (semplificate) possibili.
Grazie mille per la disponibilità! Mi siete di grande aiuto!
Prego
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