Base di un intersezione di spazi vettoriali

[BRN1]

Ciao a tutti, in questo esercizio ho due spazi vettoriali H e K con le relative basi e devo determinare la dimensione della loro intersezione e la conseguente base.
H= $ {( ( 2 ),( -1 ),( 0 ),( 1 ) ),( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) } $ ; K= $ {( ( 1 ),( 2 ),( 0 ),( 1 ) ),( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 1 ) ),( ( 0 ),( 3 ),( 0 ),( -4 ) ) } $
Quindi, dim(H)=2 e dim(K)=3.
Cerco dim(H+K):
(H+K)= $ ( ( 2 , 0 , 1 , 0 , 0 ),( -1 , 0 , 2 , 0 , 3 ),( 0 , 1 , 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 , 1 , -4 ) ) $
e tramite l'eliminazione di Gauss ottengo:
$ ( ( 1 , 0 , 1 , 1 , -4 ),( 0 , 1 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , -1 , -2 , -8 ),( 0 , 0 , 0 , -5 , -25 ) ) $
segue che rg(H+K)=4=dim(H+K). Da Grassman ottengo dim( $ H nn K $ )=dim(H)+dim(K)-dim(H+K)=2+3-4=1.
Ora, per trovare la base dell'intersezione pongo:
a$ ( ( 2 ),( -1 ),( 0 ),( 1 ) ) $+b $ ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $+c$ ( ( -1 ),( -2 ),( 0 ),( -1 ) ) $+d$ ( ( 0 ),( 0 ),( -1 ),( -1 ) ) $+e$ ( ( 0 ),( -3 ),( 0 ),( 4 ) ) $=0
metto a sistema e tramite l'eliminazione di Gauss ottengo:
$ ( ( 1 , 0 , -1 , -1 , 4 ),( 0 , 1 , 0 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , -3 , -1 , 1 ),( 0 , 0 , 0 , 1 , -4 ) ) $ .
Per la 4° colonna (quella della coordinata e) non esiste un pivot, quindi pongo e=k con k=variabile indipendente.
Porto a sistema e ottengo:
$ ( ( a),( b ),( c ),( d ),(e) ) $=$ ( ( 7k ),( 4k ),( -k ),( 4k ), (k) ) $= k$ ( ( 7 ),( 4 ),( -1 ),( 4 ), (1) ) $.
Ora ho dei dubbi:
se pongo k=1/7 ottengo a=1 e b=4/7 che inseriti nella base di H danno:
1$ ( ( 2 ),( -1 ),( 0 ),( 1 ) ) $ +4/7$ ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $ = $ ( ( 2 ),( -1 ),( 4/7 ),( 1 ) ) $
che sarebbe la base dell'intersezione.
E' corretto quest ultimo passaggio? Nel caso non lo sia, con che criterio devo dare un valore a k?

Grazie a chi mi risponde.

.BRN

[BRN1]

Nessuno sa chiarirmi questo dubbio???
Ho trovato altri esempi in rete, ma tutti assegnano i valori corretti a k come se fosse la cosa più naturale che esista. Ma a me sfugge qualcosa...

.BRN

[ansioso]

prova a riguardarti meglio come si risolvojno i sistemi lineare con n colonne e m righe tc n>m
più colonne che righe.... li ti spiega come parametrizzare!

[BRN1]

Cioè nel penultimo passaggio, dove imposto il sistema ponendo e=k, studio per quali valori di k tale sistema è risolvibile e quei valori saranno, poi, quelli da sostituire nell'ultimo passaggio?