Dipendenza lineare

[piumino]

Ciao a tutti
Ho un problema su un esercizio forse banale!
devo verificare se i vettori: v= ( 1,2,3,4 ), W= ( 4,3,2,1 ) e u= ( 2,0,2,3 ) sono linearmente indipendenti. Come devo procedere, devo mettere tutto a sistema ma non so come fare.....cioè da dove si vede se dei vettori sono linearmente dipendenti o indipendenti...io dalla teoria ho capito che 2 equazioni sono tra loro dipendenti se è possibile trasformare la prima nella seconda moltiplicando o dividendo tutti i termini per lo stesso numero:
PRIMA EQUAZIONE= K x (SECONDA EQUAZIONE). Ditemi se sbaglio e come riuscire a risolvere questo tipo di esercizi

[feldspato1]

I vettori v , w e u sono linearmente indipendenti se , e solo se , il rango r della matrice A è uguale a 3 ; A è la matrice delle componenti del sistema di vettori x ( x= v, w , u) rispetto alla base e (base canonica) ;le colonne di A sono dunque le componenti dei vettori v , w , u rispetto ad e ;

[feldspato1]

se non sei a conoscenza di quanto scritto prima puoi fare la seguente osservazione ;i vettori u e v sono banalmente linearmente indipendenti ;i tre vettori saranno allora lin. indip. se esiste una coppia di numeri reali (a, b) tali che : w=a·v + b·u ; ottieni dunque un sistema di quattro equazioni in 2 incognite

[piumino]

e come devo procedere...mi fai un esempio scritto per favore!!!

[Tagliafico]

impostati il sistema.
prendi i tuoi tre vettori:
$v= ( 1,2,3,4 ), w= ( 4,3,2,1 ) e u= ( 2,0,2,3 )$

se tre vettori $u,v,w$ sono linearmente indipendenti, vuol dire che esistono $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 in RR$ tali che, considerata una combinazione lineare di tali elementi questa ti dia il vettore nullo solo se gli scalari sono tutti nulli.

quindi come farai?
prendi tre scalari qualsiasi e i tuoi vettori. avrai che

$\lambda_1(1,2,3,4)+\lambda_2(4,3,2,1)+\lambda_3(2,0,2,3)=(0,0,0,0)

imposta il sistema

${(\lambda_1+4\lambda_2+2\lambda_3=0),(2\lambda_1+3\lambda_2=0),(3\lambda_1+2\lambda_2+2\lambda_3=0),(4\lambda_1+\lambda_2+3\lambda_3=0):}$

risolvi il sistema. se ti risulteranno $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0$ allora avrai che i tre vettori $u,v,w$ sono tra loro linearmente indipendenti.

[piumino]

grazie per la spiegazione....ultima domanda, nel caso in cui devo dimostrare il contrario ovvero che i vettori sono linearmente dipendenti come imposto il sistema?

[Tagliafico]

esattamente nello stesso modo.
l'unica cosa è che il sistema risulterà avere una soluzione in cui $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ non saranno tutti nulli

[piumino]

quindi nel caso in cui devo dimostrare che sono linearmente dipendenti devo porre i 3 lambda diversi da zero...ma nel sistema scrivo sempre le 3 equazioni = a zero?
risolvo il sistema e per essere lin. dipendenti TUTTI i valori lambda o ALMENO UNO deve essere diverso da ZERO, per far si che siano lin. dipendenti?
grazie

[Tagliafico]

esattamente

[piumino]

grazie fratellooooo