Polinomio caratteristico e autovettori

[BRN1]

Ciao a tutti, riporto qui un esercizio d'esempio che ho trovato nella vostra guida "algebra lineare for dummies":

Esempio. Sia $T:RR_2[t] to RR_2[t]$ definita da:
$T(1)=t^2," "T(t)=-1+t+t^2," "T(t^2)=t^2$
con base $B=\{1,t,t^2\}$.
La matrice associata a $T$ rispetto a $B$ si trova subito, in quanto abbiamo le immagini degli elementi della base: $A=((0,-1,0),(0,1,0),(1,1,1))$.
Per trovare gli autovalori esaminiamo il polinomio caratteristico della matrice $(A-lambda I_3)=((-lambda,-1,0),(0,1-lambda,0),(1,1,1-lambda))$ e troviamo, come abbiamo già visto, gli autovalori $lambda_1=0$ con $m_a(0)=1$ e $lambda_2=1$ con $m_a(1)=2$.
A questo punto basta sostituire in $(A-lambda I_3)$ i valori $0$ e $1$ a $lambda$:
a) per $lambda=0$, l'autospazio $V_0$ non è altro che lo spazio delle soluzioni del sistema $(A-0I_3)x=Ax=0$, ovvero:
$V_0=Sol(A,0)=\{k((1),(0),(-1))" : "k in RR\}$;
ricordo peraltro che le matrici operano solo su coordinate e che quindi, lavorando su una matrice, ho ottenuto un vettore di coordinate che devo convertire in un polinomio; una base di $V_0$ è quindi il polinomio $v_1=(1-t^2)$;
b) per $lambda=1$, l'autospazio $V_1$ non è altro che lo spazio delle soluzioni del sistema $(A-1I_3)x=(A-I_3)x=0$, ovvero:
$V_1=Sol(A-I_3,0)=\{h((1),(-1),(0))+k((0),(0),(1))" : "h,k in RR\}$.
convertendo le coordiante in polinomi ottengo $v_(21)=(1-t)$ e $v_(22)=t^2$, ovvero $\{1-t,t^2\}$ come una base di $V_1$.

Bene, ci sono delle parti che proprio non capisco:
1) il polinomio caratteristico della matrice a me esce: $ -lambda(lambda-1)(lambda+2) $, ovvero $lambda=0$ con $m_a(0)=1$, $lambda=1$ con $m_a(1)=1$ e $lambda=-2$ con $m_a(-2)=1$. Perché nell'esempio non è così?

2) quando si sostituiscono i valori di $lambda$ nella matrice $(A-lambda I_3)$ e si porta a sistema uguagliando a zero, io non capisco come escano tali soluzioni. Qualcuno sarebbe disposto a farmi vedere in dettaglio i conti svolti?

Mi rendo conto che le mie domande riguardano cose elementari che teoricamente dovrei saper fare a occhi chiusi, ma così non è.... Non ho mai incontrato nessuno che abbia mai saputo insegnare davvero la matematica e probabilmente a molti di voi irrita rispondere a queste domande, ma vi chiedo un po' di pazienza...

Grazie davvero a chi mi dedica una frazione del suo tempo.

.BRN

[^Tipper^1]

Sviluppa il determinante lungo la terza colonna. In questo modo, non fai altro che moltiplicare gli elementi della diagonale.

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Grazie Mirino06, avevo commesso uno stupido errore nell'applicare la regola di sarrus. Ora però il polinomio mi esce:

$-lambda(1-lambda)^2+(1-lambda)$

Quindi $(1-lambda)$ non va considerato?

E per le soluzioni dei sistemi che mi puoi dire?

Grazie.

.BRN

[^Tipper^1]

Il polinomio caratteristico è $-lambda(1-lambda)(1-lambda)$

Sostituisci al posto di $lambda$, $1$.

$((-1,-1,0),(0,0,0),(1,1,0))$ Quindi: $\{(-x-y=0),(x+y=0):}$ Risolvi, quindi $V_1=Span{(-1,1,0),(0,0,1)}$

Allo stesso modo per $lambda=0$

[BRN1]

Cavolo!!!!!!! scusa davvero Mirino=6!!!!!!!!! avevo sbagliato a riscrivere la matrice associata! oramai le ore di sonno perse si fanno sentire...
Ora mi è tutto più chiaro, solo risolvendo i sistemi (scalando le rispettive matrici) mi escono invertite due componenti:
per $lambda=0$:
pongo $t^2=k$ e ottengo le equazioni $1+t=-k$ e $t=0$ da cui $v=( ( -k ),( 0 ),( k ) )$. Per ottenere la soluzione dell'esercizio dovrei attribuire a $t^2$ il valore -k. Che differenza c'è?
per $lambda=1$:
pongo $t=h$ e $t^2=k$ ottenendo solo $1=-h$ da cui $v=( ( -h ),( h ),( 0 ) )+( (0 ),( 0 ),( k ) )$

.BRN

[^Tipper^1]

Ti stai riferendo al fatto che ottieni $(-1,1,0)$ e non $(1,-1,0)$? Se intendi questo, è uguale.

[BRN1]

però la base è $(1,t,t^2)$...

A parte questo, grazie davvero Mirino06!;)

.BRN