Rette parallele e incidenti....
Date le rette:
$r: x-y=2x-z+5=0$
$s: x-y-6=x-2y+z-6=0
$t: 3x-2y+2=3y+z-4=0
Come posso trovare una retta l parallela a t che interseca sia r che s...?
Ho visto che le rette r ed s sono sghmbe....e i paramentri direttori della retta t, e quinsi anche di l, sono $(2/3,-1/3,1)$
MA come posso continuare...?non ho più ide...
$r: x-y=2x-z+5=0$
$s: x-y-6=x-2y+z-6=0
$t: 3x-2y+2=3y+z-4=0
Come posso trovare una retta l parallela a t che interseca sia r che s...?
Ho visto che le rette r ed s sono sghmbe....e i paramentri direttori della retta t, e quinsi anche di l, sono $(2/3,-1/3,1)$
MA come posso continuare...?non ho più ide...
Risposte
Una volta che hai trovato i vettori direzioni calcoli il vettore $(P_1 - P_2)$ con $P_1$ su $r$ e $P_2$ su $s$. Dopo di che imponi che la differenza sia uguale alla direzione di $t$ (o al suo inverso). Forse ci sono modi più rapidi ma è la prima cosa che mi è venuta in mente.
No scusami...non riesco a capire...
Se le tre rette sono nella forma:
[tex]\mathbf{r}_1(t_1) = \mathbf{x}_1 + t_1\mathbf{v}_1[/tex] (retta r)
[tex]\mathbf{r}_2(t_2) = \mathbf{x}_2 + t_2\mathbf{v}_2[/tex] (retta s)
[tex]\mathbf{r}_3(t_3) = \mathbf{x}_3 + t_3\mathbf{v}_3[/tex] (retta t)
con [tex]t_1, t_2, t_3[/tex] che variano in [tex]\mathbb{R}[/tex]
Allora la retta [tex]\mathbf{r}_4[/tex] cercata la trovi imponendo:
[tex]\mathbf{r}_1(s_1) - \mathbf{r}_2(s_2) = \varepsilon \mathbf{v}_3[/tex]
Che è un sistema lineare di 3 equazioni a 3 incognite ([tex]s_1[/tex], [tex]s_2[/tex], [tex]\varepsilon[/tex]). Tutte e tre le incognite si trovano in [tex]\mathbb{R}[/tex].
Riscritto in un'altro modo è:
[tex]\mathbf{x}_1 + s_1\mathbf{v}_1 - (\mathbf{x}_2 + s_2\mathbf{v}_2) - \varepsilon\mathbf{v}_3 = \mathbf{0}[/tex]
[tex]s_1\mathbf{v}_1 - s_2\mathbf{v}_2 - \varepsilon\mathbf{v}_3 = \mathbf{x}_2 - \mathbf{x}_1[/tex]
Se pongo [tex]\mathbf{b} = \mathbf{x}_2 - \mathbf{x}_1[/tex], con [tex]A[/tex] la matrice che ha per colonne [tex]\mathbf{v}_1[/tex], [tex]-\mathbf{v}_2[/tex] e [tex]-\mathbf{v}_3[/tex] e con [tex]\mathbf{s}[/tex] il vettore colonna [tex](s_1, s_2, \varepsilon)[/tex] il sistema da risolvere sarà quindi:
[tex]A\mathbf{s} = \mathbf{b}[/tex]
E la retta avrà forma:
[tex]\mathbf{r}_4(t_4) = \mathbf{x}_1 + s_1\mathbf{v}_1 + t_4\mathbf{v}_3[/tex] oppure [tex]\mathbf{r}_4(t_4) = \mathbf{x}_2 + s_2\mathbf{v}_2 + t_4\mathbf{v}_3[/tex] dove [tex]s_1[/tex] e [tex]s_2[/tex] sono i valori trovato dal sistema.
[tex]\mathbf{r}_1(t_1) = \mathbf{x}_1 + t_1\mathbf{v}_1[/tex] (retta r)
[tex]\mathbf{r}_2(t_2) = \mathbf{x}_2 + t_2\mathbf{v}_2[/tex] (retta s)
[tex]\mathbf{r}_3(t_3) = \mathbf{x}_3 + t_3\mathbf{v}_3[/tex] (retta t)
con [tex]t_1, t_2, t_3[/tex] che variano in [tex]\mathbb{R}[/tex]
Allora la retta [tex]\mathbf{r}_4[/tex] cercata la trovi imponendo:
[tex]\mathbf{r}_1(s_1) - \mathbf{r}_2(s_2) = \varepsilon \mathbf{v}_3[/tex]
Che è un sistema lineare di 3 equazioni a 3 incognite ([tex]s_1[/tex], [tex]s_2[/tex], [tex]\varepsilon[/tex]). Tutte e tre le incognite si trovano in [tex]\mathbb{R}[/tex].
Riscritto in un'altro modo è:
[tex]\mathbf{x}_1 + s_1\mathbf{v}_1 - (\mathbf{x}_2 + s_2\mathbf{v}_2) - \varepsilon\mathbf{v}_3 = \mathbf{0}[/tex]
[tex]s_1\mathbf{v}_1 - s_2\mathbf{v}_2 - \varepsilon\mathbf{v}_3 = \mathbf{x}_2 - \mathbf{x}_1[/tex]
Se pongo [tex]\mathbf{b} = \mathbf{x}_2 - \mathbf{x}_1[/tex], con [tex]A[/tex] la matrice che ha per colonne [tex]\mathbf{v}_1[/tex], [tex]-\mathbf{v}_2[/tex] e [tex]-\mathbf{v}_3[/tex] e con [tex]\mathbf{s}[/tex] il vettore colonna [tex](s_1, s_2, \varepsilon)[/tex] il sistema da risolvere sarà quindi:
[tex]A\mathbf{s} = \mathbf{b}[/tex]
E la retta avrà forma:
[tex]\mathbf{r}_4(t_4) = \mathbf{x}_1 + s_1\mathbf{v}_1 + t_4\mathbf{v}_3[/tex] oppure [tex]\mathbf{r}_4(t_4) = \mathbf{x}_2 + s_2\mathbf{v}_2 + t_4\mathbf{v}_3[/tex] dove [tex]s_1[/tex] e [tex]s_2[/tex] sono i valori trovato dal sistema.
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