Famiglia di endomorfismi $epsilon$
ho risolto un problema.però non sono sicuro circa la correttezza della soluzione.
determinare la famiglia $epsilon$ di endomorfismi di $V$ aventi $W$ come autospazio associato all'autovalore $2$.
dove
$W=VnnT$
$V={((x,y),(z,t))inRR^(2,2)| 3x+y+z-t=0}$
$T={XinRR^(2,2)|tr(X)=0}$
ho risolso il seguente quesito in questa maniera.considerando la definizione di autospazio si ha $W_2={winW|epsilon(w)=2w}$
ovvero la famiglia di endomorfismi sono tutti quegli endomorfismi tale che $epsilon((-t,4t-z),(z,t))=2((-t,4t-z),(z,t))$
ovvero l'immagine del generico elemento di $W$ (calcolato in precedenza) è uguale a due volte il generico elemento di $W$.
[edit]
correggo l'esercizio perché forse a mio avviso ho commesso una svista.
l'endomorfismo così definito non è ben definito perché in questo modo ho definito l'immagine però rispetto alla base di $W=(w_1,w_2)$ che ha dimensione $2$.devo completare quindi ad una base di $V$.prendo allora l'elemento di $V$ e considero l'immagine
$epsilon((-t,4t-z),(z,t))=2((-t,4t-z),(z,t))$
$epsilon((x,y),(z,3x+y+z))=((x,y),(z,3x+y+z))$
questa dovrebbe essere la famiglia $epsilon$ di endomorfismi verificanti la condizione.
l'esercizio poi continua chiedendomi di caratterizzare quelli non diagonalizzabili
risolvo l'esercizio considerando il fatto che un endomorfismo è non diagonalizzabile quando $V$ non ha una base di autovettori ovvero quando si ha
$f(xw_1+yw_2)=2(xw_1+yw_2)$
ovviamente attendo con ansia il responso dai piani alti.vi prego confermate o smentite le mie parole.
determinare la famiglia $epsilon$ di endomorfismi di $V$ aventi $W$ come autospazio associato all'autovalore $2$.
dove
$W=VnnT$
$V={((x,y),(z,t))inRR^(2,2)| 3x+y+z-t=0}$
$T={XinRR^(2,2)|tr(X)=0}$
ho risolso il seguente quesito in questa maniera.considerando la definizione di autospazio si ha $W_2={winW|epsilon(w)=2w}$
ovvero la famiglia di endomorfismi sono tutti quegli endomorfismi tale che $epsilon((-t,4t-z),(z,t))=2((-t,4t-z),(z,t))$
ovvero l'immagine del generico elemento di $W$ (calcolato in precedenza) è uguale a due volte il generico elemento di $W$.
[edit]
correggo l'esercizio perché forse a mio avviso ho commesso una svista.
l'endomorfismo così definito non è ben definito perché in questo modo ho definito l'immagine però rispetto alla base di $W=(w_1,w_2)$ che ha dimensione $2$.devo completare quindi ad una base di $V$.prendo allora l'elemento di $V$ e considero l'immagine
$epsilon((-t,4t-z),(z,t))=2((-t,4t-z),(z,t))$
$epsilon((x,y),(z,3x+y+z))=((x,y),(z,3x+y+z))$
questa dovrebbe essere la famiglia $epsilon$ di endomorfismi verificanti la condizione.
l'esercizio poi continua chiedendomi di caratterizzare quelli non diagonalizzabili
risolvo l'esercizio considerando il fatto che un endomorfismo è non diagonalizzabile quando $V$ non ha una base di autovettori ovvero quando si ha
$f(xw_1+yw_2)=2(xw_1+yw_2)$
ovviamente attendo con ansia il responso dai piani alti.vi prego confermate o smentite le mie parole.
Risposte
Forse ho fatto male i conti, ma sei sicuro che $W$ abbia dimensione $2$?
be giuly19 ho rifatto i calcoli tre volte e la dimensine di $W$ è sempre pari a $2$.il sistema è ${(3x+y+z-t=0),(x+t=0):}$.ci sono due variabili libere quindi la dimensione è pari a $2$
Sì infatti sbagliavo a impostare la condizione sulla traccia.. -.-'
Ok, $W$ ha dimensione 2, però non ho capito cos'hai fatto dopo..
Io scriverei la generica matrice rappresentativa di questi endomorfismi: considerando i due vettori lin. indip. base di $W$ ( $(-1, 4, 0, 1),(0, -1, 1, 0)$ ), completando a una base di $V$ con un generico vettore lin. indip. con quei due, si ottiene (chiamano $B$ questa base di $V$ completata):
$M_B (f) = ( ( 2 , 0 , a ),( 0 , 2 , b ),( 0 , 0 , c ) ) $ , quindi la dimensione dello spazio di endomorfismi dovrebbe essere $3$.
Per la diagonalizzabilità io andrei di polinomio caratteristico e controllo delle molteplicità algebriche e geometriche (ci vuole un attimo).
Se non ho sbagliato ancora mi pare che non sia diagonalizzabile solo se $c=2$. Dimmi se ti torna.
Ok, $W$ ha dimensione 2, però non ho capito cos'hai fatto dopo..
Io scriverei la generica matrice rappresentativa di questi endomorfismi: considerando i due vettori lin. indip. base di $W$ ( $(-1, 4, 0, 1),(0, -1, 1, 0)$ ), completando a una base di $V$ con un generico vettore lin. indip. con quei due, si ottiene (chiamano $B$ questa base di $V$ completata):
$M_B (f) = ( ( 2 , 0 , a ),( 0 , 2 , b ),( 0 , 0 , c ) ) $ , quindi la dimensione dello spazio di endomorfismi dovrebbe essere $3$.
Per la diagonalizzabilità io andrei di polinomio caratteristico e controllo delle molteplicità algebriche e geometriche (ci vuole un attimo).
Se non ho sbagliato ancora mi pare che non sia diagonalizzabile solo se $c=2$. Dimmi se ti torna.
mmm mi piace la tua impostazione del problema Giuly19.praticamente io avevo scritto le relazioni che caratterizzano la famiglia degli endomorfismi $epsilon$ ma l'ultima relazione non mi convinceva proprio tanto.te invece hai scritto la matrice associata alla base $B$.non è male.mi piace.svolgendo i calcoli ho ottenuto anche io che la famiglia di endomorfismi non diagonalizzabili sono quelli aventi $c=2$.
grazie tante Giuly 19 per la mano
grazie tante Giuly 19 per la mano
Il sistema di vettori $(-1,4,0,1), (0,-1,1,0), (0,0,1,1)$ è una base di $V$
Ora se:
$(-1,4,0,1)\to(-2,8,0,2)$
$(0,-1,1,0)\to(0,-2,2,0)$
$(0,0,1,1)\to(0,0,2,2)$
La matrice dell'endomorfismo rispetto alla base è: $((2,0,0),(0,2,0),(0,0,2))$, dunque per $c=2$ è diagonalizzabile!
Ora se:
$(-1,4,0,1)\to(-2,8,0,2)$
$(0,-1,1,0)\to(0,-2,2,0)$
$(0,0,1,1)\to(0,0,2,2)$
La matrice dell'endomorfismo rispetto alla base è: $((2,0,0),(0,2,0),(0,0,2))$, dunque per $c=2$ è diagonalizzabile!
Dovrei controllare meglio la soluzione perchè l'ho svolto abbastanza di fretta, e non mi convinceva moltissimo il fatto della scelta casuale del completamento di base, anche se sono abbastanza sicuro che la dimensione dello spazio vettoriale di endomorfismi sia $3$.
In ogni caso $(0,0,1,1) !in W$ quindi l'endomorfismo che hai definito tu non sta in $epsilon$.
In ogni caso $(0,0,1,1) !in W$ quindi l'endomorfismo che hai definito tu non sta in $epsilon$.
mmm ho ricontrollato i calcoli ma per $c=2$ non è diagonalizzabile.
"Giuly19":
Dovrei controllare meglio la soluzione perchè l'ho svolto abbastanza di fretta, e non mi convinceva moltissimo il fatto della scelta casuale del completamento di base, anche se sono abbastanza sicuro che la dimensione dello spazio vettoriale di endomorfismi sia $3$.
In ogni caso $(0,0,1,1) !in W$ quindi l'endomorfismo che hai definito tu non sta in $epsilon$.
Già hai ragione te Giuly19.il vettore $(0,0,1,1)$ appartiene a $V$ ma non a $W$ quindi non si può definire l'endomorfismo in quel modo.
"Giuly19":
la dimensione dello spazio vettoriale di endomorfismi sia $3$.
Forse vuoi dire il dominio dove è definita la famiglia degli endomorfismi $\epsilon$ è $V$, che risulta uno spazio vettoriale di dimensione $3$.
"Giuly19":
In ogni caso $(0,0,1,1) !in W$ quindi l'endomorfismo che hai definito tu non sta in $epsilon$.
Cosa vuol dire che un endomorfismo non sta in $\epsilon$, non ha senso.
Poi la famiglia di endomorfismi $\epsilon$ è definita sul sottospazio $V$ a cui il vettore $(0,0,1,1)$ ci sta benissimo dentro.
Già hai ragione te Giuly19.il vettore $(0,0,1,1)$ appartiene a $V$ ma non a $W$ quindi non si può definire l'endomorfismo in quel modo.
Ma come ha ragione!
si weblan ma seppure il vettore $(0,0,1,1)inV$ non appartiene a $W$ quindi non è un atuovettore associato all'autovalore $2$ e non puoi scrivere $f(0,0,1,1)=2(0,0,1,1)$.
"mazzy89":
si weblan ma seppure il vettore $(0,0,1,1)inV$ non appartiene a $W$ quindi non è un atuovettore associato all'autovalore $2$ e non puoi scrivere $f(0,0,1,1)=2(0,0,1,1)$.
Ma ti sei chiesto cosa chiede il testo dell'esercizio?
Lo ripeto:
Vuole gli endormifismi di $V$ che ammettono l'autospazio $W$ associato all'autovalore $2$.
Il mio endomorfismo come l'ho definito va bene.
Spero di essere stato chiaro.
forse sarò io che non sto capendo però ti giuro weblan che mi sto sforzando parecchio.il vettore $(0,0,1,1)inV$ infatti soddisfa l'equazione cartesiana di $V$ ma non appartiene a $W$ perché la traccia del vettore $(0,0,1,1)$ non è nulla.non appartenendo a $W$ non è un elemento di $W$ e quindi non si può dire che $f(0,0,1,1)=2(0,0,1,1)$
ovviamente questa è la mia visione del problema.non sto capendo la tua weblan.
ma $W$ è contenuto in $V$?vero?
se la risposta è affermativa ho capito il problema.
ovviamente questa è la mia visione del problema.non sto capendo la tua weblan.
ma $W$ è contenuto in $V$?vero?
se la risposta è affermativa ho capito il problema.
Rivedo anche la mia posizione. Ora il post si è allungato di interventi e non riesco ad avere un quadro generale di quello che è stato detto.
Se proprio quello che sto affermando non va bene, non per quello che state sostenendo, ma perchè lui vuole un endomorfismo che abbia $W$ come autospazio associato all'autovalore $2$. Ora il mio endomorfismo è tale che l'autospazio associato non è più $W$ ma diventa proprio $V$, infatti l'autovalore $2$ ha molteplicita algebrica $3$ uguale alla molteplicita geometrica $3$, proprio coincidente con la base di $V$ e quindi l'autospazio associato all'autovalore $2$ sarà $V$ e non più $W$.
Se proprio quello che sto affermando non va bene, non per quello che state sostenendo, ma perchè lui vuole un endomorfismo che abbia $W$ come autospazio associato all'autovalore $2$. Ora il mio endomorfismo è tale che l'autospazio associato non è più $W$ ma diventa proprio $V$, infatti l'autovalore $2$ ha molteplicita algebrica $3$ uguale alla molteplicita geometrica $3$, proprio coincidente con la base di $V$ e quindi l'autospazio associato all'autovalore $2$ sarà $V$ e non più $W$.
"weblan":
Rivedo anche la mia posizione. Ora il post si è allungato di interventi e non riesco ad avere un quadro generale di quello che è stato detto.
Se proprio quello che sto affermando non va bene, non per quello che state sostenendo, ma perchè lui vuole un endomorfismo che abbia $W$ come autospazio associato all'autovalore $2$. Ora io il mio endomorfismo è tale che l'autospazio associato non è più $W$ ma diventa proprio $V$, infatti l'autovalore $2$ ha molteplicita algebrica $3$ uguale alla molteplicita geometrica $3$, proprio coincidente con la base di $V$ e quindi l'autospazio associato all'autovalore $2$ sarà V e non più $W$.
ecco weblan con questa affermazione sono d'accordissimo con te.però la strada proposta da giuly19 è sbagliata?a me convince parecchio.
"Giuly19":
Io scriverei la generica matrice rappresentativa di questi endomorfismi: considerando i due vettori lin. indip. base di $W$ ( $(-1, 4, 0, 1),(0, -1, 1, 0)$ ), completando a una base di $V$ con un generico vettore lin. indip. con quei due, si ottiene (chiamano $B$ questa base di $V$ completata):
$M_B (f) = ( ( 2 , 0 , a ),( 0 , 2 , b ),( 0 , 0 , c ) ) $ , quindi la dimensione dello spazio di endomorfismi dovrebbe essere $3$.
Per determinare la famiglia di endomorfismi di $V$, bisogna assegnare al vettore che completa la base di $W$ a una base di $V$ un generico vettore di $V$, e se proprio si trasforma proporzionalmente a se stesso, mai tale vettore si deve trasformare secondo lo scalare moltiplicativo $2$
ok quindi deve essere della forma $epsilon((x,y),(z,3x+y+z))=alpha((x,y),(z,3x+y+z))$ con $alpha!=2$.esatto?
anche se non capisco perché non potrebbe valere la seguente $epsilon((x,y),(z,3x+y+z))=aw_1+bw_2+cv_1$
dove $v_1=((x,y),(z,3x+y+z))$
anche se non capisco perché non potrebbe valere la seguente $epsilon((x,y),(z,3x+y+z))=aw_1+bw_2+cv_1$
dove $v_1=((x,y),(z,3x+y+z))$
"Giuly19":
$M_B (f) = ( ( 2 , 0 , a ),( 0 , 2 , b ),( 0 , 0 , c ) ) $ , quindi la dimensione dello spazio di endomorfismi dovrebbe essere $3$.
Questa matrice va bene, quindi $c!=2$. Ovvio che sarebbe interessante trovare l'epressione esplicita del generico endomorfismo, quindi:
Questione archiviata.
$\epsilon((x,y),(z, 3x+y+z))=.....$
eccellente weblan.mi stavo confondendo non poco. 
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