Dimostrazioni sul determinante
Salve a tutti... ho un problema con il determinante... io mi chiedo se questa particolare funzione esiste ed è unica: basta far vedere che la formula induttiva di Laplace rispetta le mie tre proprietà fondamentali (matrice identità ha det=1, due colonne uguali implica det=0 ed è n-lineare come funzione sulle colonne)?? cioè così dimostro l'esistenza, ma non mi torna che sia unica la fuznione che ha queste tre proprietà...
poi uin'altra domanda... il nostro professore ha dimostrato questa proposizione: "Data una matrice A, il determinante di A è uguale al determinante della sua trasposta", però non ho capito la dimostrazione: scrive il determinante di A e della sua trasposta con le permutazioni, prendendo per la trasposta la permutazione inversa, e così le eguaglia... ecco, perchè posso eguagliarle??
poi uin'altra domanda... il nostro professore ha dimostrato questa proposizione: "Data una matrice A, il determinante di A è uguale al determinante della sua trasposta", però non ho capito la dimostrazione: scrive il determinante di A e della sua trasposta con le permutazioni, prendendo per la trasposta la permutazione inversa, e così le eguaglia... ecco, perchè posso eguagliarle??
Risposte
Provo a dimostrarti l'unicità della funzione determinante.
I tre assiomi, come hai scritto tu, sono:
1) è lineare in ogni colonna
2) se sue colonne sono uguali allora $det=0$
3) la matrice unità $I$ ha determinante pari a $1$
Sussiste il seguente:
Se infatti aggiungiamo che anche la funzione $F$ soddisfa il terzo assioma, si ha che $F(A)=D(A)*1=D(A)$, $AA A$]
I tre assiomi, come hai scritto tu, sono:
1) è lineare in ogni colonna
2) se sue colonne sono uguali allora $det=0$
3) la matrice unità $I$ ha determinante pari a $1$
Sussiste il seguente:
"Lemma":Dimostrazione lemma:
Siano $D,F: cc(M)_n (K)-> K$ due funzioni soddisfacenti, rispettivamente, gli assiomi 1,2,3 e 1,2.
Allora $AA A in ccM_n (K)$ vale $F(A)=D(A)*F(I)$, dove $I$ rappresenta la matrice identità
[una volta dimostrato questo lemma, si ha l'unicità della funzione determinante.
Se infatti aggiungiamo che anche la funzione $F$ soddisfa il terzo assioma, si ha che $F(A)=D(A)*1=D(A)$, $AA A$]
ok... e unendo lapalce con il tuo lemma ottengo unicità e esistenza, ora mi torna... grazie!!
Per la questione sul determinante della trasposta??
Per la questione sul determinante della trasposta??
Penso che si possa dimostrare per induzione sull'ordine della matrice.
Caso base: $n=1$ . In questo caso $A=(a)$, quindi coincide con la sua trasposta.
Entrambe hanno lo stesso determinante (che è $a$)
Passo induttivo: sia vero l'asserto per tutte le matrici di ordine minore di $n$
Dobbiamo dimostrare l'asserto per le matrici di ordine $n$
Provaci e fammi sapere
Caso base: $n=1$ . In questo caso $A=(a)$, quindi coincide con la sua trasposta.
Entrambe hanno lo stesso determinante (che è $a$)
Passo induttivo: sia vero l'asserto per tutte le matrici di ordine minore di $n$
Dobbiamo dimostrare l'asserto per le matrici di ordine $n$
Provaci e fammi sapere
E' qui che vi volevo... praticamente il nostro professore usa questo lemma (una matrice e la sua trasposta hanno lo stesso determinante) per dire che svolgere Laplace per colonne o per righe è la stessa cosa... e per dimostare il lemma che vi ho chiesto come hai proposto te mi serve il fatto che fare Laplace per righe o per colonne è la stessa cosa... quindi c'è una dimostrazione che non usa questo fatto?? sopratuttto se consocete quella per via delle permutazioni...
Allora... scusate se posto ancora ma sono arrivato ad un buon punto, mi manca di capire un'ultima uguaglianza... dunque io devo dimostrare la proposizione:
$|A|=|tA|$ , con $tA$ la trasposta della matrice di A.
Ho trovato questa dimostrazione:
$|tA|$= sommatoria (non riesco a trovare il simbolo di questa funzione, quindi ogni volta che parte una formula con gli $ai,del(i)$ significa che davanti c'è il simbolo di sommatoria) che cicla con $del in Sn$, di $(-1)^(n(del)) * at1,del(1) * at2,del(2) * ... * atn,del(n)$, con $atidel(i)$ l'elemento trasposto $aidel(i)$ della matrice $A$, e $del(i)$ una permutazione dell'indiice i...
A questo punto traspongo e ottengo:
$|tA|=(-1)^(n(del)) * at1,del(1) * at2,del(2) * ... * atn,del(n)= (-1)^(n(del)) * adel(1),1* adel(2),2 * ... * adel(n),n$, e fin qui tutto tranquillo perchè è la defnzione di trasposizione (scambio gli indici)... e ora fa questa uguaglianza:
$(-1)^(n(del)) * adel(1) 1* adel(2)2 * ... * adel(n)n=(-1)^(n(del^(-1))) * at1,(del^(-1))(1) * at2,(del^(-1))(2) * ... * atn,(del^(-1))(n)$, con $del^(-1) in Sn$, permutazione inversa di $del in Sn$... che passaggio è?? è come aver applicato l'inversione della permutazione, ma non mi torna che sia tornato alla trasposta... poi il teorema continua, ma il dubbio mi rimane solo su questo passaggio... dimostrato questo sono arrivato!!
Mi scuso in anticipo per la confusione nelle formule ma è il meglio che ho potuto fare... :s
$|A|=|tA|$ , con $tA$ la trasposta della matrice di A.
Ho trovato questa dimostrazione:
$|tA|$= sommatoria (non riesco a trovare il simbolo di questa funzione, quindi ogni volta che parte una formula con gli $ai,del(i)$ significa che davanti c'è il simbolo di sommatoria) che cicla con $del in Sn$, di $(-1)^(n(del)) * at1,del(1) * at2,del(2) * ... * atn,del(n)$, con $atidel(i)$ l'elemento trasposto $aidel(i)$ della matrice $A$, e $del(i)$ una permutazione dell'indiice i...
A questo punto traspongo e ottengo:
$|tA|=(-1)^(n(del)) * at1,del(1) * at2,del(2) * ... * atn,del(n)= (-1)^(n(del)) * adel(1),1* adel(2),2 * ... * adel(n),n$, e fin qui tutto tranquillo perchè è la defnzione di trasposizione (scambio gli indici)... e ora fa questa uguaglianza:
$(-1)^(n(del)) * adel(1) 1* adel(2)2 * ... * adel(n)n=(-1)^(n(del^(-1))) * at1,(del^(-1))(1) * at2,(del^(-1))(2) * ... * atn,(del^(-1))(n)$, con $del^(-1) in Sn$, permutazione inversa di $del in Sn$... che passaggio è?? è come aver applicato l'inversione della permutazione, ma non mi torna che sia tornato alla trasposta... poi il teorema continua, ma il dubbio mi rimane solo su questo passaggio... dimostrato questo sono arrivato!!
Mi scuso in anticipo per la confusione nelle formule ma è il meglio che ho potuto fare... :s
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