Applicazioni lineari per spostare figure
Ciao a tutti! Sto preparando un esame di algebra lineare e sono alle prime armi.
Ho letto molto gli appunti di segio" algebra for dummies", ma ho numerosi dubbi da togliermi...conto sul vostro aiuto risolvendo questo esercizio...
La mia ignoranza mi dice di procedere dal punto a:
scrivo la matrice associata alla casetta:
\begin{bmatrix}-9 & -9 & -1 & -1 & -5 \\ 0 & 6 & 0 & 6 & 8 \end{bmatrix}
ma poi non saprei come continuare (a patto che ho dei dubbi già su questo passaggio)... qualcuno ha qualche suggerimento??
Vi ringrazio in anticipo!
Ho letto molto gli appunti di segio" algebra for dummies", ma ho numerosi dubbi da togliermi...conto sul vostro aiuto risolvendo questo esercizio...
La mia ignoranza mi dice di procedere dal punto a:
scrivo la matrice associata alla casetta:
\begin{bmatrix}-9 & -9 & -1 & -1 & -5 \\ 0 & 6 & 0 & 6 & 8 \end{bmatrix}
ma poi non saprei come continuare (a patto che ho dei dubbi già su questo passaggio)... qualcuno ha qualche suggerimento??
Vi ringrazio in anticipo!
Risposte
Provo a risolverlo da solo, ditemi dove cicco...
Utilizzo i vettori delle coordinate della casetta:
$v_1=(-9,0) \ v_2=(-9,6) \ v_3=(-1,0) \ v_4=(-1,6) \ v_5=(-5,8)$
da questi ottengo la matrice associata e scrivo il sistema:
$ (x \ y) *( ( -9 , -9 , -1 , -1 , -5 ),( 0 , 6 , 0 , 6 , 8 ) ) $
Devo trovare un'applicazione lineare che mandi la casetta nello stesso quadrante del gattino,
Ho provato con $ f(x,y)=(x+10,y)$ quindi aggiungendo alle $x$ un bel 10 in modo da traslare di 10 unità la casetta nella direzione $x$ ma secondo le regole che deve soddisfare un'applicazione lineare mi trovo a dover confermare che $ f(x,y) = (x +10 ,y)$ non è un applicazione lineare valida!:
Applicazione lineare: un'applicazione T:V→W si dice lineare se, comunque scelti due vettori v1,v2 di V e due scalari h,k:
a) l'immagine della somma è la somma delle immagini (additività):
$T(v1+v2)=T(v1)+T(v2)$
Nel mio caso:
$T((x),(y))=T((x+10),(y))$
$ T((x_1 + x_2 ),(y_1 + y_2)) =T((x_1 + x_2 + 10),(y_1 + y_2)) = T((x_1 + x_2 +10),(y_1 + y_2)) $
che è diverso da:
$ T((x_1),(y_1))+T((x_2),(y_2)) =T((x_1 + 10),(y_1)) + T((x_2 + 10),(y_2))=T((x_1 + x_2 +20),(y_1+ y_2)) $
b) l'immagine del prodotto per uno scalare è il prodotto per uno scalare dell'immagine (omogeneità):
Thv1=hTv1.
In generale, quindi:
Thv1+kv2=hTv1+kTv2
Evito di provare anche per il prodotto in quanto la prima proprietà non è soddisfatta...
A questo punto provo con $T((x)(y))=T((-x),(y))$
E dopo le solite prove eseguite con successo (somma e prodotto) affermo che questa è un'applicazione lineare!
Ora dovrei trovare la matrice associata rispetto alle basi canonica del dominio e del codominio...
Qui sorge il dubbio (mea culpa,scarsa teoria)
So' che le basi canoniche del dominio e codominio (essendo entrambi in $\mathbb{R}^2$) sono $e_1=(1,0) $ ed $ e_2=(0,1) $ ma cosa dovrei trovare in pratica? Qualche suggerimento? grazie per il vostro tempo!!
Utilizzo i vettori delle coordinate della casetta:
$v_1=(-9,0) \ v_2=(-9,6) \ v_3=(-1,0) \ v_4=(-1,6) \ v_5=(-5,8)$
da questi ottengo la matrice associata e scrivo il sistema:
$ (x \ y) *( ( -9 , -9 , -1 , -1 , -5 ),( 0 , 6 , 0 , 6 , 8 ) ) $
Devo trovare un'applicazione lineare che mandi la casetta nello stesso quadrante del gattino,
Ho provato con $ f(x,y)=(x+10,y)$ quindi aggiungendo alle $x$ un bel 10 in modo da traslare di 10 unità la casetta nella direzione $x$ ma secondo le regole che deve soddisfare un'applicazione lineare mi trovo a dover confermare che $ f(x,y) = (x +10 ,y)$ non è un applicazione lineare valida!:
Applicazione lineare: un'applicazione T:V→W si dice lineare se, comunque scelti due vettori v1,v2 di V e due scalari h,k:
a) l'immagine della somma è la somma delle immagini (additività):
$T(v1+v2)=T(v1)+T(v2)$
Nel mio caso:
$T((x),(y))=T((x+10),(y))$
$ T((x_1 + x_2 ),(y_1 + y_2)) =T((x_1 + x_2 + 10),(y_1 + y_2)) = T((x_1 + x_2 +10),(y_1 + y_2)) $
che è diverso da:
$ T((x_1),(y_1))+T((x_2),(y_2)) =T((x_1 + 10),(y_1)) + T((x_2 + 10),(y_2))=T((x_1 + x_2 +20),(y_1+ y_2)) $
b) l'immagine del prodotto per uno scalare è il prodotto per uno scalare dell'immagine (omogeneità):
Thv1=hTv1.
In generale, quindi:
Thv1+kv2=hTv1+kTv2
Evito di provare anche per il prodotto in quanto la prima proprietà non è soddisfatta...
A questo punto provo con $T((x)(y))=T((-x),(y))$
E dopo le solite prove eseguite con successo (somma e prodotto) affermo che questa è un'applicazione lineare!
Ora dovrei trovare la matrice associata rispetto alle basi canonica del dominio e del codominio...
Qui sorge il dubbio (mea culpa,scarsa teoria)
So' che le basi canoniche del dominio e codominio (essendo entrambi in $\mathbb{R}^2$) sono $e_1=(1,0) $ ed $ e_2=(0,1) $ ma cosa dovrei trovare in pratica? Qualche suggerimento? grazie per il vostro tempo!!
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