Numero dei parametri di una matrice ortogonale
Buongiorno
Sto studiando per l'esame di meccanica classica, e nella trattazione del gruppo di Galileo serve dimostrare il seguente fatto di algebra lineare:
Una matrice ortogonale $n\times n$ ha $\frac{n(n-1)}{2}$ parametri indipendenti, ovvero $O(n)$ è un gruppo a $\frac{n(n-1)}{2}$ parametri (In realtà mi servirebbe solo la dimostrazione che una matrice ortogonale $3\times 3$ ha $3$ parametri indipendenti).
A quanto ho capito la dimostrazione del professore si basa su degli incrementi infinitesimi, nel senso che scrive anzitutto la matrice $R_\epsilon=Id_3+\epsilon A+o(\epsilon^2)$ e dimostra che se tale matrice è ortogonale, allora $A$ è antisimmetrica. Non ho capito però il senso di questa cosa e neanche le notazioni (che matrice è $o(\epsilon^2)$? a cosa serve questo $\epsilon$ piccolo?...).
Se qualcuno ha in mente un'altro tipo di dimostrazione rispetto a quella che ho citato io, va benissimo ugualmente.
Grazie
Sto studiando per l'esame di meccanica classica, e nella trattazione del gruppo di Galileo serve dimostrare il seguente fatto di algebra lineare:
Una matrice ortogonale $n\times n$ ha $\frac{n(n-1)}{2}$ parametri indipendenti, ovvero $O(n)$ è un gruppo a $\frac{n(n-1)}{2}$ parametri (In realtà mi servirebbe solo la dimostrazione che una matrice ortogonale $3\times 3$ ha $3$ parametri indipendenti).
A quanto ho capito la dimostrazione del professore si basa su degli incrementi infinitesimi, nel senso che scrive anzitutto la matrice $R_\epsilon=Id_3+\epsilon A+o(\epsilon^2)$ e dimostra che se tale matrice è ortogonale, allora $A$ è antisimmetrica. Non ho capito però il senso di questa cosa e neanche le notazioni (che matrice è $o(\epsilon^2)$? a cosa serve questo $\epsilon$ piccolo?...).
Se qualcuno ha in mente un'altro tipo di dimostrazione rispetto a quella che ho citato io, va benissimo ugualmente.
Grazie
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