Parametrizzazione \(S^{2}\)
Sto studiando sull'Abate-Tovena i concetti introduttivi relativi alle superfici in \(\mathbb{R}^{3}\). Nell'esempio relativo alla parametrizzazione della sfera \(S^{2}\) tramite coordinate sferiche, definisce la seguente parametrizzazione:
sia \(U=\{(\theta,\phi) \in \mathbb{R}^{2} | 0 < \theta < \pi, 0 < \phi < 2\pi\}\) e sia \(\varphi_1:U \to \mathbb{R}^{3}\) data da \(\varphi_1(\theta,\phi)=(\sin \theta \cos \phi, \sin \theta \sin \phi, \cos \theta)\). Poi definisce l'immagine di \(\varphi_1\) nel modo seguente \[\varphi_1(U)=S^{2} \setminus \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} | y=0, x \geq 0\}\]
Mi domando allora perché nell'immagine di \(\varphi_1\) per esempio viene escluso \(y=0\) visto che \(\varphi_1(\theta, \pi)=(-\sin \theta, 0, \cos \theta)\).
sia \(U=\{(\theta,\phi) \in \mathbb{R}^{2} | 0 < \theta < \pi, 0 < \phi < 2\pi\}\) e sia \(\varphi_1:U \to \mathbb{R}^{3}\) data da \(\varphi_1(\theta,\phi)=(\sin \theta \cos \phi, \sin \theta \sin \phi, \cos \theta)\). Poi definisce l'immagine di \(\varphi_1\) nel modo seguente \[\varphi_1(U)=S^{2} \setminus \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} | y=0, x \geq 0\}\]
Mi domando allora perché nell'immagine di \(\varphi_1\) per esempio viene escluso \(y=0\) visto che \(\varphi_1(\theta, \pi)=(-\sin \theta, 0, \cos \theta)\).
Risposte
Ma quel punto infatti non è uno di quelli che elimini: infatti $x=-\sin\theta<0$ per ogni $0<\theta<\pi$.
L'insieme che viene sottratto alla sfera è la semicirconferenza giacente nel piano $y=0$ di equazione $x^2+z^2=1$ con $x\ge 0$.
L'insieme che viene sottratto alla sfera è la semicirconferenza giacente nel piano $y=0$ di equazione $x^2+z^2=1$ con $x\ge 0$.
Quindi avevo interpretato male l'immagine di \(\varphi_1\), nel senso che vengono esclusi i punti \((x, 0, z)\) con \(x \geq 0\). Ovvero le immagini di \((\theta,\pi)\) con \(0<\theta<\pi\). Giusto?
Yeah! 
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