Difficoltà con esercizio di calcolo vettoriale
Ciao a tutti, sono alle prese con un esercizio che credo sia abbastanza semplice ma non riesco a risolvere.
L'esercizio è il seguente:
Le proiezioni dei vettori $ vec(v_1) $ e $ vec(v_2) $ lungo la direzione del vettore $ vec(v_3) $ misurano rispettivamente $ 2 m $ e $ 3 m $ e il prodotto scalare della somma di $ vec(v_1)+ vec(v_2) $ con $ vec(v_3) $ vale $ 30 m^2. $
Calcolare $ |vec(v_3)| $
Ho bisogno solo di un input iniziale perchè non riesco a capire da dove cominciare a risolverlo.
Grazie in anticipio
Saluti.
L'esercizio è il seguente:
Le proiezioni dei vettori $ vec(v_1) $ e $ vec(v_2) $ lungo la direzione del vettore $ vec(v_3) $ misurano rispettivamente $ 2 m $ e $ 3 m $ e il prodotto scalare della somma di $ vec(v_1)+ vec(v_2) $ con $ vec(v_3) $ vale $ 30 m^2. $
Calcolare $ |vec(v_3)| $
Ho bisogno solo di un input iniziale perchè non riesco a capire da dove cominciare a risolverlo.
Grazie in anticipio
Saluti.
Risposte
Sai cos'è la proiezione di un vettore lungo un altro?
che io sappia il prodotto scalare tra due vettori restituisce la proiezione del primo vettore sul secondo moltiplicato il modulo del secondo vettore.
Bé, sì. Detto meglio $P_w(v)=\frac{}{|w|}$ è la proiezione di un vettore $v$ lungo la direzione di un vettore $w$. Tu sai praticamente che
$\frac{}{|v_3|}=2,\ \frac{}{|v_3|}=3,\ =30$
A questo punto con semplici passaggi algebrici dovresti determinare i valori dei vettori.
P.S.: in ogni caso, hai scritto le condizioni ma non hai scritto quale sia la consegna del problema!
$\frac{
A questo punto con semplici passaggi algebrici dovresti determinare i valori dei vettori.
P.S.: in ogni caso, hai scritto le condizioni ma non hai scritto quale sia la consegna del problema!
Chiedo scusa per la mancata consegna del problema, me ne ero accorto ieri sera solo che non ho potuto corregere. Adesso comunque ho modificato il primo post.
Per quanto riguarda il problema volevo chiedere se la notazione $ $ è equivalente a quella cui sono abituato io, e cioè $ vec(a) xx vec(b) $.
Per quanto riguarda il problema volevo chiedere se la notazione $
Allora, penso di aver risolto in questo modo:
Sommo membro a membro le due proiezioni:
$ vec(v_1) xx vec(v_3)=2|vec(v_3)|$
$vec(v_2) xx vec(v_3)=3|vec(v_3)|$
ottengo
$vec(v_1) xx vec(v_3)+vec(v_2) xx vec(v_3)=5|vec(v_3)|$ (1)
A questo punto, applicando la proprietà distributiva rispetto alla somma di vettori all'espressione $(vec(v_1) + vec(v_2)) xx vec(v_3)=30 $ ottengo:
$vec(v_1) xx vec(v_3)+vec(v_2) xx vec(v_3)=30 $ (2)
Uguagliando la (1) e la (2) ottengo ancora: $5|vec(v_3)| = 30$ da cui ricavo il valore ricercato $|vec(v_3)|= (30 m^2) / (5 m) = 6 m $
Il procedimento penso sia corretto, perchè il risultato riportato nell'esercizio è proprio 6. Tuttavia ho ancora due perplessità:
1. Il testo riporta anche un'altra soluzione, e cioè $|vec(v_3)| = 30m$. Per completezza questo è il documento contenente l'esercizio in questione (è il primo esercizio):
http://ishtar.df.unibo.it/Uni/bo/ingegn ... 012008.pdf
in cui si può vedere che le soluzione sono due in funzione del valore dell'angolo compreso fra i vettori.
2. Anche se non richiesto dall'esercizio, volevo provare a calcolare anche i valori $|vec(v_1)|$ e $|vec(v_2)|$, tuttavia non ci riesco, perchè mi sembra che i dati in mio possesso siano insufficienti.
Chiedo quindi: con i dati che ho, è possibile calcolari i valori assoluti dei vettori su detti?
Sommo membro a membro le due proiezioni:
$ vec(v_1) xx vec(v_3)=2|vec(v_3)|$
$vec(v_2) xx vec(v_3)=3|vec(v_3)|$
ottengo
$vec(v_1) xx vec(v_3)+vec(v_2) xx vec(v_3)=5|vec(v_3)|$ (1)
A questo punto, applicando la proprietà distributiva rispetto alla somma di vettori all'espressione $(vec(v_1) + vec(v_2)) xx vec(v_3)=30 $ ottengo:
$vec(v_1) xx vec(v_3)+vec(v_2) xx vec(v_3)=30 $ (2)
Uguagliando la (1) e la (2) ottengo ancora: $5|vec(v_3)| = 30$ da cui ricavo il valore ricercato $|vec(v_3)|= (30 m^2) / (5 m) = 6 m $
Il procedimento penso sia corretto, perchè il risultato riportato nell'esercizio è proprio 6. Tuttavia ho ancora due perplessità:
1. Il testo riporta anche un'altra soluzione, e cioè $|vec(v_3)| = 30m$. Per completezza questo è il documento contenente l'esercizio in questione (è il primo esercizio):
http://ishtar.df.unibo.it/Uni/bo/ingegn ... 012008.pdf
in cui si può vedere che le soluzione sono due in funzione del valore dell'angolo compreso fra i vettori.
2. Anche se non richiesto dall'esercizio, volevo provare a calcolare anche i valori $|vec(v_1)|$ e $|vec(v_2)|$, tuttavia non ci riesco, perchè mi sembra che i dati in mio possesso siano insufficienti.
Chiedo quindi: con i dati che ho, è possibile calcolari i valori assoluti dei vettori su detti?
Non sono valori assoluti, ma moduli (attento alle definizioni). E ovvio che tu abbia due soluzioni: infatti una è quella in cui $v_1$ e $v_2$ non sono paralleli a $v_3$, mentre è possibile che essi lo siano. In generale puoi scrivere per il modulo di $v_1$, ad esempio
$|v_1|=\frac{}{|v_3|\cos\theta}}$
dove $\theta$ è l'angolo tra i due vettori. Come vedi dipende da quale posizione essi mantengano.
$|v_1|=\frac{
dove $\theta$ è l'angolo tra i due vettori. Come vedi dipende da quale posizione essi mantengano.
Ho capito, graize mille per l'aiuto e la pazienza.
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