Provare che $2$ è un autovalore

[mazzy89-votailprof]

ho il seguente esercizio però non mi sto raccapezzando.

sia $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ la base canonica dell'$R$ spazio vettoriale $RR^4$ e sua $f_k:RR^4->RR^4$ l'endomorfismo definito dalle assegnazioni:

$f_k(2e_1)=(6-k)e_1+(2-k)e_3+(2-k)e_4$
$f_k(e_2)=4e_1+e_2+2e_3+2e_4$
$f_k(2e_3)=(k-2)e_1+(k+2)e_3+(k-2)e_4$
$f_k(e_4)=(k-2)e_1+(k-2)e_3+ke_4$
con $k in RR$

provare che $2$ è un autovalore di $f_k$ per ogni $k$ e determinare l'autospazio associato

avevo pensato di calcolarmi la matrice rispetto alla base $(2e_1,e_2,2e_3,e_4)$ e su questa calcolarmi il polinomio caratteristico.però purtroppo è parecchio laboriosa.qualche idea?

[ciampax]

Per quanto sia laboriosa, mi sembra la scelta migliore. L'altra possibilità è far vedere che per ogni $k$ esiste un vettore $v=a 2e_1+b e_2+c 2e_3+d e_4$ tale che $f(v)=2v$, ma secondo me è ancora più laborioso (poi in realtà non so, non ho fatto i conti).