Calcolare base spazio vettoriale matriciale

[mazzy89-votailprof]

mi trovo nuovamente in difficoltà in questo esercizio:

Sia $A_h=((1,1),(1,h))$

e $V_h={X in RR^(2,2) | A_hX=-XA_h}$

calcolare la dimensione ed una base di $V_h$ al variare di $h in RR$

risolvendo in questa maniera:

considerando la generica matrice $X=((x,y),(z,t)) in RR^(2,2)$ si ha effettuando i calcoli

$((x+z,y+t),(x+hz,y+ht))=-((x+y,x+hy),(z+t,z+ht))$

si ha allora il sistema

${(x+z=-(x+y)),(y+t=-(x+hy)),(x+hz=-(z+t)),(y+ht=-(z+ht)):}$

scrivendo la matrice associata al sistema qui sopra si ha:

$((1,0,1,0,|,-1,-1,0,0),(0,1,0,1,|,-1,-h,0,0),(1,0,h,0,|,0,0,-1,-1),(0,1,0,h,|,0,0,-1,-h))$

ora secondo il teorema di Rouche-Capelli il sistema ammette soluzioni se $rkA=rk(A|B)$

il rango di $A$ sarà pari a $4$ se $h!=1$ mentre sarà pari a $2$ se $h=1$

mentre nel caso della matrice completa $A|B$ il rango sarà pari al rango di $A$ se $h!=1$ mentre per $h=1$ $rkA!=rk(A|B)$ poiché il $rkA|B=3$

in questo caso lo spazio vettoriale avrà dimensione $4$ per $h!=1$.esatto? o c'è qualcosa di sbagliato?

[mazzy89-votailprof]

credo proprio di aver sbagliato qualcosa.se sostituisco ad $h=1$ il sistema risulta determinato e non impossibile.