Sistema
si consideri il sistema:
${(x+ky-z+3w=0),(kx+y+3z-kw=0),(x+y+2z-w=0):}$
al variare di $k in RR$
- si studi il rango della matrice del sistema al variare di $k in RR$
non ho ben chiaro il procedimento.
$|(1, k, -1, 3),(k, 1, 3, -k),(1,1,2,-1)|$
il rango è uguale al più a 3.
vado a considerare le matrici quadrate 3x3.
a1=$|(1,k,-1),(k,1,3),(1,1,2)|$
a2=$|(k,-1,3),(1,3,-4),(1,2,-1)|$
a3=$|(1,-1,3),(k,3,-k),(1,1,-1)|$
det a1=0, se k=0,1
det a2=0, se k=0
det a3=0, se k=3
posso quindi dire che se k è diverso da 0, 1, 3 allora il rango è 3 altrimenti il rango è $<=2$
ora dovrei andare a considerare le matrici quadrate 2x2 (quali?) per stabilire se il rango è 1 o 2. (regola degli orlati).
il mio procedimento fino a qui è corretto oppure non è in questo modo che si studia il variare del rango al variare di k?
${(x+ky-z+3w=0),(kx+y+3z-kw=0),(x+y+2z-w=0):}$
al variare di $k in RR$
- si studi il rango della matrice del sistema al variare di $k in RR$
non ho ben chiaro il procedimento.
$|(1, k, -1, 3),(k, 1, 3, -k),(1,1,2,-1)|$
il rango è uguale al più a 3.
vado a considerare le matrici quadrate 3x3.
a1=$|(1,k,-1),(k,1,3),(1,1,2)|$
a2=$|(k,-1,3),(1,3,-4),(1,2,-1)|$
a3=$|(1,-1,3),(k,3,-k),(1,1,-1)|$
det a1=0, se k=0,1
det a2=0, se k=0
det a3=0, se k=3
posso quindi dire che se k è diverso da 0, 1, 3 allora il rango è 3 altrimenti il rango è $<=2$
ora dovrei andare a considerare le matrici quadrate 2x2 (quali?) per stabilire se il rango è 1 o 2. (regola degli orlati).
il mio procedimento fino a qui è corretto oppure non è in questo modo che si studia il variare del rango al variare di k?
Risposte
Sicuramente quella matrice ha rango almeno $2$, il minore $((1,3),(1,2))$ di ordine $2$ ha determinante non nullo.
Ora prendiamo un minore di ordine $3$ ottenuto orlando il minore di ordine $2$ precedente, quindi non prendo un qualsiasi minore, ma quello con il criterio dell'orlare.
Prendo $((1,k,-1),(k,1,3),(1,1,2))$, il determinante di tale matrice è $2k-2k^2$, sarà diverso da $0$ se $k!=0$ e $k!=1$.
Per quest'ultimi valori il rango della matrice è massimo e quindi $3$.
Poi si discute il sistema, ma questa è un'altra questione.
Ora prendiamo un minore di ordine $3$ ottenuto orlando il minore di ordine $2$ precedente, quindi non prendo un qualsiasi minore, ma quello con il criterio dell'orlare.
Prendo $((1,k,-1),(k,1,3),(1,1,2))$, il determinante di tale matrice è $2k-2k^2$, sarà diverso da $0$ se $k!=0$ e $k!=1$.
Per quest'ultimi valori il rango della matrice è massimo e quindi $3$.
Poi si discute il sistema, ma questa è un'altra questione.
Poi si discute il sistema, ma questa è un'altra questione.
intendi, verificare se il sistema è compatibile e le eventuali soluzioni?
"deian91":
intendi, verificare se il sistema è compatibile e le eventuali soluzioni?
Si certo, la discussione del sistema e le sue soluzoni.
Ho fatto velocemente le verifiche.
Se $k!=0$ e $k!=1$ il sistema ammette $oo^1$ soluzioni-
Anche nei casi $k=0$ o $k=1$, la matrice ha rango $3$ ( sarà l'altro orlato ad avere determinante diverso da $0$)
Dunque questo sistema $AAKinRR$ ammette $oo^1$ soluzioni.
"weblan":
Sicuramente quella matrice ha rango almeno $2$, il minore $((1,3),(1,2))$ di ordine $2$ ha determinante non nullo.
Ora prendiamo un minore di ordine $3$ ottenuto orlando il minore di ordine $2$ precedente, quindi non prendo un qualsiasi minore, ma quello con il criterio dell'orlare.
Prendo $((1,k,-1),(k,1,3),(1,1,2))$, il determinante di tale matrice è $2k-2k^2$, sarà diverso da $0$ se $k!=0$ e $k!=1$.
Per quest'ultimi valori il rango della matrice è massimo e quindi $3$.
Poi si discute il sistema, ma questa è un'altra questione.
ma non avrei dovuto considerare anche l'altro orlato?
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Kronecker
wikipedia considera tutti gli orlati del minore di ordine 2....
"deian91":
ma non avrei dovuto considerare anche l'altro orlato?
sì lo devi considerare
ok, se nei due orlati il determinante è uguale a 0 per valori di k differenti, come procedo?
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