Esercizio endomorfismo con parametro

[BRN1]

Ciao a tutti, sono impegnato nel risolvere un esercizio riguardante un endomorfismo con parametro e avrei dei chiarimenti riguardo ad alcuni punti.

L'endomorfismo è questo:

$ f:RR^4 rarr RR^4 $ tale che:

$ f( ( 1 ),( 1 ),( 1 ),( 0 ) )=( ( 2 ),( t ),( 1 ),( 1 ) ); f( ( 0 ),( 1 ),( 1 ),( 1 ) )=( ( 1 ),( t ),( 3 ),( t ) ); f( ( 1 ),( 1 ),( 0 ),( 1 ) )=( ( 2 ),( t ),( 0 ),( t ) ); f( ( 0 ),( 1 ),( 1 ),( 0 ) )=( ( 1 ),( t ),( 2 ),( 1 ) ) $

Il rango della matrice formata dai vettori del dominio, è pari a $ 4 $ (tutti i vettori sono lin. indip.) che mi indica che l'endomorfismo esiste ed è unico.

Ho trovato la matrice associate a $ f $ rispetto alla base canonica (salto i passaggi per non appesantire il post e perché credo di non aver commesso sbagli in questo):

$ M{::}_( t )= ( ( 1 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( -1 , -4 , 2 , 1 ),( 0 , -1+t , 0 , t-1 ) ) $

da cui ricavo il polinomio caratteristico:

$ det(M{::}_( t )-lambdaI)=det( ( 1-lambda , 1 , 0 , 0 ),( 0 , -lambda , 0 , 0 ),( -1 , -4 , 2-lambda , 1 ),( 0 , -1+t , 0 , t-1-lambda ) )=(1-lambda)(-lambda)(2-lambda)(t-1-lambda) $

Ora, l'esercizio mi chiede di trovare per quali valori di $ t $ la matrice è diagonalizzabile su $ RR $ e su $ CC $.
Dal polinomio caratteristico vedo che per $ t=1 $ ottengo:
$ lambda{::}_( 1 )=1 $ con molteplicità algebrica $ m.a.=1 $
$ lambda{::}_( 2 )=0 $ con molteplicità algebrica $ m.a.=2 $
$ lambda{::}_( 3 )=2 $ con molteplicità algebrica $ m.a.=1 $
Con $ t=2 $ ottengo:
$ lambda{::}_( 1 )=1 $ con molteplicità algebrica $ m.a.=2 $
$ lambda{::}_( 2 )=0 $ con molteplicità algebrica $ m.a.=1 $
$ lambda{::}_( 3 )=2 $ con molteplicità algebrica $ m.a.=1 $
Infine con $ t=3 $ ottengo:
$ lambda{::}_( 1 )=1 $ con molteplicità algebrica $ m.a.=1 $
$ lambda{::}_( 2 )=0 $ con molteplicità algebrica $ m.a.=1 $
$ lambda{::}_( 3 )=2 $ con molteplicità algebrica $ m.a.=2 $

Ora, trovando le molteplicità geometriche nei tre casi in cui ho $ m.a.=2 $, trovo che la matrice sia diagonalizzabile solo nei casi in cui $ t=1, lambda{::}_( 2 )=0 $ e $ t=2, lambda{::}_( 1 )=1 $, .
Tutto questo in $ RR $, ma in $ CC $ come si risolve???

Di seguito , l'esercizio mi chiede di trovare gli autovalori e gli autovettori di $ M{::}_( -1) $ , ovvero? dovrei trovare autovalori e autovettori ponendo $ t=-1 $ ???

Ultima cosa, mi si chiede per quali valori di $ t $ l'endomorfismo ammette una base ortonormale di auto vettori rispetto al prodotto scalare standard in $ RR^4 $. Io ho proceduto in questo modo:
ho considerato i due casi in cui la matrice è diagonalizzabile per trovare gli autovettori relativi:

$ t=1, lambda=1 $

$ ( ( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , -1 , 0 , 0 ),( -1 , -4 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , 0 , -1 ) ) $ tramite elimin. Gauss $ rArr ( ( -1 , -4 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ),(0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , -1 ) ) $

mettendo a sistema trovo:

$ c( ( 1 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) )$ ovvero ponendo $ c=1 $ $ rArr $ $ u1=( ( 1 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $

Analogamente per $ t=1, lambda=0 $ ottengo :

$ c( ( -2/3 ),( 2/3 ),( 1 ),( 0 ) ) + d( ( -1/3 ),( 1/3 ),( 0 ),( 1 ) ) $

ma per avere due autovettori ortogonali dovrei porre $ c=-3/2 ; d=0 $ ottenendo $ u2=( ( 1 ),( -1 ),( 1 ),( 0 ) ) ; u3=( ( 0 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $

Per $ t=1, lambda=2 $ ottengo :

$ c( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) )$ ovvero ponendo $ c=1 $ $ rArr $ $ u4=( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $

Dovrei ripetere quest'ultimo procedimento anche per i casi in cui $ t=2 $, ma già quello che ho scritto sopra non mi convince. Che dite? Per rispondere a quest'ultima domanda, sono proprio fuori strada????

Grazie a chi mi risponde!

.BRN

[weblan]

Ti posso chiedere la cortesia di postare l'applicazione lineare trovata.

[BRN1]

Ciao weblan, grazie per il tuo interessamento!
Scusami, ma non ho capito la tua domanda... vuoi che ti posti come ho trovato la matrice associata all'endomorfismo???

[weblan]

Voglio proprio la relazione $f(x,y,z,t)=......$

[BRN1]

L'endomorfismo è dato dalla matrice $ M{::}_(t) $, ovvero:

$ f(x,y,z,s)=(x+y,0,-x-4y+2z+s,(-1+t)y+(t-1)s) $

[weblan]

Per questo mi sono fatto scrivere la legge. Quella legge non rispetta le assegnazioni iniziali:

$f(1,1,1,0)=(2,t,1,1)$, nel tuo caso $f(1,1,1,0)=(2,0,-3,-1-t)$

[weblan]

L'appliacazione che rispetta quelle assegnazion è la seguente:

$f(x,y,z,s)=(x+y,ty,-x+2z+s,y+(t-1)s)$ e la matrice rispetto alla base canonica: $A_f=((1,1,0,0),(0,t,0,0),(-1,0,2,1),(0,1,0,t-1))$

[BRN1]

Già... ho fatto un errorino di calcolo...
Ora ho ricorretto tutto e ho ottenuto anche io la stessa tua matrice:

$ M{::}_(t)=( ( 1 , 1 , 0 , 0 ),( 0 , t , 0 , 0 ),( -1 , 0 , 2 , 1 ),( 0 , 1 , 0 , t-1 ) ) $

Il polinomio caratteristico ora diventa:

$ det(M{::}_(t)-lambdaI)=det( ( 1-lambda , 1 , 0 , 0 ),( 0 , t-lambda , 0 , 0 ),( -1 , 0 , 2-lambda , 1 ),( 0 , 1 , 0 , t-1-lambda ) ) = (1-lambda)(t-lambda)(2-lambda)(t-1-lambda) $

e trovo che:
per $ t=1 $ $ rArr $ $ lambda{::}_(1)=1$ con $ m.a=2 $, $ lambda{::}_(2)=2$ con $ m.a=1 $, $ lambda{::}_(3)=0$ con $ m.a=1 $
per $ t=2 $ $ rArr $ $ lambda{::}_(1)=1$ con $ m.a=2 $, $ lambda{::}_(2)=2$ con $ m.a=2 $
per $ t=3 $ $ rArr $ $ lambda{::}_(1)=1$ con $ m.a=1 $, $ lambda{::}_(2)=3$ con $ m.a=1 $, $ lambda{::}_(3)=2$ con $ m.a=2 $
per $ t!=1,2,3 $ $ rArr $ $ lambda{::}_(1)=1$ con $ m.a=1 $, $ lambda{::}_(2)=t$ con $ m.a=1 $, $ lambda{::}_(3)=2$ con $ m.a.=1 $,$ lambda{::}_(4)=t-1$ con $ m.a=1 $

Cercando le molteplicità geometriche per $ t=1 $, $ t=2 $ e $ t=3 $ relative ai loro autovalori aventi $ m.a=2 $, ottengo che la matrice $ M{::}_(t) $ è diagonalizzabile per tutti i $ t !=1, 3 $. Tutto questo in $ RR $.

Ora, rimangono le stesse domande che ho posto prima:
- come trovo per quali valori di $ t $ la matrice è diagonalizzabile in $ CC $ ?
- con $ M{::}_(-1) $, si intende la matrice con $ t=-1 $ ?
- come posso trovare per quali $ t $ l'endomorfismo ammette una base ortonormale di autovettori rispetto al prodotto scalare standard in $ RR^4 $ ?

[BRN1]

Proprio nessuno riesce a darmi qualche dritta su come risolvere questo esercizio?
Cercando nel web, non ho avuto molta fortuna...

.BRN