Topologia (spazi metrici)
Ciao ragazzi,
non riesco a dimostrare che ogni spazio metrico completo è separabile... ho provato a far vedere che ogni sp. metrico completo soddisfa il secondo assioma di numerabilità... così potrei concludere.. ma non ci sono riuscito.
non riesco a dimostrare che ogni spazio metrico completo è separabile... ho provato a far vedere che ogni sp. metrico completo soddisfa il secondo assioma di numerabilità... così potrei concludere.. ma non ci sono riuscito.
Risposte
Ovvio che non ci riesci: è falso quanto vuoi dimostrare!
[EX] Sia \(\mathbb{R}^{(\infty)}\) l'insieme delle successioni di numeri reali limitate, definita l'applicazione \[\rho:(\underline x;\underline y)\in\mathbb{R}^{(\infty)}\times\mathbb{R}^{(\infty)}\to\sup_{n\in\mathbb{N}}|x_n-y_n|\in\mathbb{R}_+\] 1) \(\rho\) è una metrica su \(\mathbb{R}^{(\infty)}\);
2) \((\mathbb{R}^{(\infty)};\rho)\) è uno spazio metrico completo;
3) considerate tutte le successioni di \(0\) e \(1\), considerata la famiglia delle palle aperte (nella metrica \(\rho\)) con centro in esse e raggio \(\frac{1}{2}\), si dimostra che \((\mathbb{R}^{(\infty)};\rho)\) non è separabile.
[EX] Sia \(\mathbb{R}^{(\infty)}\) l'insieme delle successioni di numeri reali limitate, definita l'applicazione \[\rho:(\underline x;\underline y)\in\mathbb{R}^{(\infty)}\times\mathbb{R}^{(\infty)}\to\sup_{n\in\mathbb{N}}|x_n-y_n|\in\mathbb{R}_+\] 1) \(\rho\) è una metrica su \(\mathbb{R}^{(\infty)}\);
2) \((\mathbb{R}^{(\infty)};\rho)\) è uno spazio metrico completo;
3) considerate tutte le successioni di \(0\) e \(1\), considerata la famiglia delle palle aperte (nella metrica \(\rho\)) con centro in esse e raggio \(\frac{1}{2}\), si dimostra che \((\mathbb{R}^{(\infty)};\rho)\) non è separabile.
Ma non è affatto vero che tutti gli spazi metrici completi sono separabili, anzi. Ci sono importanti spazi di Banach (quindi spazi metrici completi) che non sono separabili: ad esempio, se $I$ è un intervallo reale (compatto), lo spazio $L^\infty(I)=\{f: I\to \mathbb{R} \quad \text{tali che}\quad |f(x)|\leq k \quad \text{per quasi ogni} \quad x\in I\}$ ($k$ costante reale) e il duale dello spazio $C(I)$ delle funzioni continue su $I$ sono spazi metrici completi ma non separabili.
Grazie ragazzi... non ho ben chiari i vostri esempi, ma almeno non proverò a risolvere questo esercizio del Sernesi che evidentemente è sbagliato dato che mi chiede di dimostrare che ogni sp. metrico completo e separabile.
Me lo ricordo pure io quell'esercizio. Ci sbattetti la testa contro per giorni prima di rendermi conto dell'errore nella traccia. Probabilmente voleva scrivere che ogni spazio metrico compatto e' separabile.
Dolce590 Capisco che gli esempi di Rattlesnake89 sono "complicati" (non me ne voglia a male) ma quello delle successioni limitate è fattibilissimo dai! 
Meno male che ho una inspiegata allergia ai libri di Sernesi, mi sarei scervellato inutilmente... comunque è un piacere dare una mano.
EDIT Ancora più semplice è studiare \(\mathbb{R}\) con la metrica discreta!
Meno male che ho una inspiegata allergia ai libri di Sernesi, mi sarei scervellato inutilmente... comunque è un piacere dare una mano.
EDIT Ancora più semplice è studiare \(\mathbb{R}\) con la metrica discreta!
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