Posizione reciproca di piani
Sono un pò in crisi con questo esercizio, devo discutere la posizione reciproca di questi piani al variare di a..
${ ( x-ay+az=2 ),( 3x-2y+2z=2 ),( -x-ay+2z=a ),( x-2y+az=2 ):}$
da ciò che ho capito devo fare il determinante della matrice completa $(A|B)$ e trovarne le radici, i calcoli (supportati da maxima) mi danno che sono: $a=-2 a =2$
ciò vuoldire che per tutti i valori diversi da -2 e 2 l'intersezione è solo un punto, e quindi si ha una stella di piani
mentre per questi due valori devo andare a studiare il rango di A e il rango di (A|B)..non so se è giusto come ragionamento, spero mi sappiate dire se è lo è
$(A|B)(-2)= ( ( 1 , 2 , -2 , 2 ),( 3 , -2 , 2 , 2 ),( -1 , 2 , 2 , -2 ),( 1 , -2 , -2 , 2 ) ) $
e si ha che
$r(A|B)=3=r(A)$
con l'altro valore..
quindi l'intersezione dovrebbe essere una retta
2)$(A|B)(2)= ( ( 1 , -2 , 2 , 2 ),( 3 , -2 , 2 , 2 ),( -1 , -2 , 2 , 2 ),( 1 , -2 , 2 , 2 ) ) $
e si ha che
$r(A|B)=2=r(A)$
quindi anche qui l'intersezione dovrebbe essere una retta..se ne può determinare l'espressione?
${ ( x-ay+az=2 ),( 3x-2y+2z=2 ),( -x-ay+2z=a ),( x-2y+az=2 ):}$
da ciò che ho capito devo fare il determinante della matrice completa $(A|B)$ e trovarne le radici, i calcoli (supportati da maxima) mi danno che sono: $a=-2 a =2$
ciò vuoldire che per tutti i valori diversi da -2 e 2 l'intersezione è solo un punto, e quindi si ha una stella di piani
mentre per questi due valori devo andare a studiare il rango di A e il rango di (A|B)..non so se è giusto come ragionamento, spero mi sappiate dire se è lo è
$(A|B)(-2)= ( ( 1 , 2 , -2 , 2 ),( 3 , -2 , 2 , 2 ),( -1 , 2 , 2 , -2 ),( 1 , -2 , -2 , 2 ) ) $
e si ha che
$r(A|B)=3=r(A)$
con l'altro valore..
quindi l'intersezione dovrebbe essere una retta
2)$(A|B)(2)= ( ( 1 , -2 , 2 , 2 ),( 3 , -2 , 2 , 2 ),( -1 , -2 , 2 , 2 ),( 1 , -2 , 2 , 2 ) ) $
e si ha che
$r(A|B)=2=r(A)$
quindi anche qui l'intersezione dovrebbe essere una retta..se ne può determinare l'espressione?
Risposte
"giannitwo":
ciò vuoldire che per tutti i valori diversi da -2 e 2 l'intersezione è solo un punto, e quindi si ha una stella di piani
Ammesso che siano quelli i valori che annullano il determinante della matrice, allora la conclusione è la negazione di ciò che tu affermi. In quel caso la matrice completa ha rango $4$ e quella incompleta non può avere rango più di $3$ e quindi il sistema è incompatibile.
non capisco, non è vero che per valori di a diversi da quelli che annullano il determinante si ha una stella di piani????
"giannitwo":
non capisco, non è vero che per valori di a diversi da quelli che annullano il determinante si ha una stella di piani????
Infatti non è vero.
Al variare di $a$ quelli che hai scritto rappresentano dei piani dello spazio. Generalmente una stella di piani è intesa come l'insieme dei piani passanti per un punto comune. Se i $4$ piani rappresentati devono avere un punto in comune, allora il sistema deve essere compatibile. Se tu dici che la matrice ha rango $4$, allora la matrice incompleta può avere rango al più $3$. Conclusione almeno in questi casi quel sistema non può essere compatibile.
Spero di essere stato chiaro.
E' proprio il metodo di studio per un problema simile che non riesco a mettere su..volendo fare un algoritmo, finora ho chiari solo due passaggi:
1) bisogna capire il rango della matrice completa e incompleta, se questi sono uguali allora il sistema ha soluzione e queste formano uno spazio affine di dimensione n-rango(A)
(se ho una matrice con parametri come lo capisco il rango?Devo condurre questo studio assegnando solo i valori che mi annullano il determinante?cioè affermando che quando il determinante è diverso da 0sicuramente ho rango massimo, quindi posso ridurmi a studiare solo i casi in cui il determinante è uguale a 0 e quindi il rango non è massimo?)
2)se rango(A)="numero di righe" allora la soluzione è unica, sennò ce ne sono infinite
cioè praticamente una soluzione unica starebbe a dire che l'intersezione è solo un punto?e quindi nel caso in cui il rango sia massimo si avrebbe una stella di piani?
1) bisogna capire il rango della matrice completa e incompleta, se questi sono uguali allora il sistema ha soluzione e queste formano uno spazio affine di dimensione n-rango(A)
(se ho una matrice con parametri come lo capisco il rango?Devo condurre questo studio assegnando solo i valori che mi annullano il determinante?cioè affermando che quando il determinante è diverso da 0sicuramente ho rango massimo, quindi posso ridurmi a studiare solo i casi in cui il determinante è uguale a 0 e quindi il rango non è massimo?)
2)se rango(A)="numero di righe" allora la soluzione è unica, sennò ce ne sono infinite
cioè praticamente una soluzione unica starebbe a dire che l'intersezione è solo un punto?e quindi nel caso in cui il rango sia massimo si avrebbe una stella di piani?
Ovvio che quì bisogna saper discutere un sistema di equazioni lineari. Tu stesso hai detto che il sistema per avere soluzioni il rango delle due matrici deve essere uguale.
Ora per $a!=-2$ e $a!=2$, la matrice $B$ ha rango? Credo che risponderesti $4$
Ora ti chiedi la matrice incompleta $B$ che ha dimensione$3x4$ che rango può avere per $a!=-2$ e $a!=2$? Ho l'impressione che tu mi diresti al più $3$. Ricorda che il rango di una matrice è minore o uguale del minimo tra il numero di righe e il numero di colonne.
Tira tu la conclusione come possono essere quei piani per $a!=-2$ e $a!=2$.
Ora per $a!=-2$ e $a!=2$, la matrice $B$ ha rango? Credo che risponderesti $4$
Ora ti chiedi la matrice incompleta $B$ che ha dimensione$3x4$ che rango può avere per $a!=-2$ e $a!=2$? Ho l'impressione che tu mi diresti al più $3$. Ricorda che il rango di una matrice è minore o uguale del minimo tra il numero di righe e il numero di colonne.
Tira tu la conclusione come possono essere quei piani per $a!=-2$ e $a!=2$.
Sono duro..proprio non capisco, questo sistema mi sta mandando in crisi:
Calcolare il determinante e trovarne le radici mi da informazioni utili? cosi so che il determinante della completa è diverso da 0 per alcuni valori e quindi la completa ha rango 4
ora però devo studiare il rango della incompleta e non posso farlo col metodo del determinante perchè non è una matrice quadrata..come lo trovo?devo per forza ridurre a scala facendo un lavoraccio con quei parametri?
Calcolare il determinante e trovarne le radici mi da informazioni utili? cosi so che il determinante della completa è diverso da 0 per alcuni valori e quindi la completa ha rango 4
ora però devo studiare il rango della incompleta e non posso farlo col metodo del determinante perchè non è una matrice quadrata..come lo trovo?devo per forza ridurre a scala facendo un lavoraccio con quei parametri?
Se i $4$ piani rappresentati devono avere un punto in comune, allora il sistema deve essere compatibile. Se tu dici che la matrice ha rango $4$, allora la matrice incompleta può avere rango al più $3$. Conclusione almeno in questi casi quel sistema non può essere compatibile.
ok questo l'ho capito..il rango della incompleta può essere al massimo 3 perchè deve essere minore o uguale al minimo tra il numero di colonne e delle righe che è 3
ma come sfrutto questa informazione?
"giannitwo":
ma come sfrutto questa informazione?
Hai ragione, bisogna risolvere qualche sistema!
E' frustrante.. soprattutto perchè alla fine sono sicuro sarà qualcosa di molto semplice, ma non ho nè materiale sufficiente, nè su internet trovo molto, nè sono riuscito a seguire le lezioni, sò che devo risolvere il sistema (o più) perchè la soluzione è l'intersezione o mi dice che questa non c'è intersezione, ma sto solo facendo confusione tra ranghi ecc.. ho capito che ci sono più metodi(uno basato sulle varie giaciture) ma dal materiale che ho, ho dedotto che la strada voluta dal prof mi deve portare a confrontare i ranghi della matrice completa e della incompleta..
aspetto che qualcuno mi dica come si faccia..purtroppo non sono riuscito ad arrivarci cosi
una giornata senza cavarci niente è pesante!
aspetto che qualcuno mi dica come si faccia..purtroppo non sono riuscito ad arrivarci cosi
una giornata senza cavarci niente è pesante!
Forse ci sono arrivato
Riporto tutto per chiarezza..spero sia giusto
la matrice completa è:
$ (A|B)=( ( 1 , -k , k , 2 ),( -1 , -k , 2 , k ),( 3 , -2 , 2 , 2 ),( 1 , -2 , k , 2 ) ) $
calcolo il determinante che sarà
$3*k^3-6*k^2-12*k+24$
esso si annulla se
$K=-2, K=2$
Ciò vuoldire che per valori diversi da questi due la matrice completa ha rango massimo cioè 4, e considerando che la matrice incompleta può avere rango massimo 3 nè viene fuori per Rouchè-Capelli che il sistema è impossibile!
Esaminiamo i due casi allora:
$K=-2$
dà la matrice
$ ( ( 1 , 2 , -2 , 2 ),( -1 , 2 , 2 , -2 ),( 3 , -2 , 2 , 2 ),( 1,-2,-2,2 ) ) $
che ridotta a scala è:
$ ( ( 1 , 2 , -2 , 2 ),( 0 , 4 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 8 , -4 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
cioè è equivalente ad un sistema di 3 equazioni la cui soluzione è un sottospazio affine di dimensione 1 (n-rango)
$k=2$
riducendo a scala la matrice (non scritta per comodità) viene fuori:
$ ( ( 1 , -2 , 2 , 2 ),( 0 , -4 , 4 , 4 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
cioè la soluzione è un sottospazio affine di dimensione 2(n-rango)
mi sapete dire se ci sono arrivato?
Riporto tutto per chiarezza..spero sia giusto
la matrice completa è:
$ (A|B)=( ( 1 , -k , k , 2 ),( -1 , -k , 2 , k ),( 3 , -2 , 2 , 2 ),( 1 , -2 , k , 2 ) ) $
calcolo il determinante che sarà
$3*k^3-6*k^2-12*k+24$
esso si annulla se
$K=-2, K=2$
Ciò vuoldire che per valori diversi da questi due la matrice completa ha rango massimo cioè 4, e considerando che la matrice incompleta può avere rango massimo 3 nè viene fuori per Rouchè-Capelli che il sistema è impossibile!
Esaminiamo i due casi allora:
$K=-2$
dà la matrice
$ ( ( 1 , 2 , -2 , 2 ),( -1 , 2 , 2 , -2 ),( 3 , -2 , 2 , 2 ),( 1,-2,-2,2 ) ) $
che ridotta a scala è:
$ ( ( 1 , 2 , -2 , 2 ),( 0 , 4 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 8 , -4 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
cioè è equivalente ad un sistema di 3 equazioni la cui soluzione è un sottospazio affine di dimensione 1 (n-rango)
$k=2$
riducendo a scala la matrice (non scritta per comodità) viene fuori:
$ ( ( 1 , -2 , 2 , 2 ),( 0 , -4 , 4 , 4 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
cioè la soluzione è un sottospazio affine di dimensione 2(n-rango)
mi sapete dire se ci sono arrivato?
Confermo che i risultati sono quelli. Devi rivedere la conclusione riguardo alla dimensione dei sottospazi affini. Strano perchè hai messo in evidenza anche la formula.
Nei casi $a=-2$ e $a=2$ come concludi riguardo alla posizione dei piani?
Ricorda che il testo ti chiede proprio della posizione di quei piani nello spazio. Ora tu devi interpretare le soluzioni dei sistemi per concludere.
Nei casi $a=-2$ e $a=2$ come concludi riguardo alla posizione dei piani?
Ricorda che il testo ti chiede proprio della posizione di quei piani nello spazio. Ora tu devi interpretare le soluzioni dei sistemi per concludere.
intendi come formula (n-rango)?
per a=2 e a=-2 dato che più piani nello spazio sono incidenti o paralleli ed abbiamo escluso siano incidenti dovrebbero essere paralleli, o no?per esclusione..
per a=2 e a=-2 dato che più piani nello spazio sono incidenti o paralleli ed abbiamo escluso siano incidenti dovrebbero essere paralleli, o no?per esclusione..
Ma quante soluzioni ha il primo sistema e quante soluzioni ha il secondo sistema?
scusa ho sbagliato a scrivere nella mia ultima risposta, allora:
1) $ K != -2,2 $ i piani dovrebbero essere paralleli (per esclusione dato che non sono incidenti)
2) $K=-2$ il sottospazio è di dimensione 0 (numero incognite-rango=3-3=0) e quindi l'intersezione è un punto
3)$k=2$ il sottospazio è di dimensione 3-2=1 quindi una retta
Giusto cosi??
1) $ K != -2,2 $ i piani dovrebbero essere paralleli (per esclusione dato che non sono incidenti)
2) $K=-2$ il sottospazio è di dimensione 0 (numero incognite-rango=3-3=0) e quindi l'intersezione è un punto
3)$k=2$ il sottospazio è di dimensione 3-2=1 quindi una retta
Giusto cosi??
1) Il fatto che non ci siano soluzioni non vuol dire che sono paralleli. Può benissimo accadere che due si incidono in una retta e gli altri due siano tra di loro paralleli.
2) e 3) vanno bene.
2) e 3) vanno bene.
giusto, però se avessi avuto un sistema di solo due piani sarebbero stati paralleli in assenza di soluzioni si? la discussione delle posizioni reciproche non credo intenda di andare a vedere anche i piani due a due come si comportano
la discussione delle posizioni reciproche non credo intenda di andare a vedere anche i piani due a due come si comportano
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