Calcolo determinante con metodo di Gauss
Ciao a tutti,
più volte ho usato il metodo di eliminazione di Gauss per determinare un determinante, ma spesso quando sono in presenza di parametri liberi, i risultati non mi tornano.
Un esempio:
devo trovare gli autovalori di questa matrice
$ A=( ( 1 , -1 , 1 ),( -1 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , k ) ) $
quindi, usando il metodo di Sarruss, ottengo:
$ det(A-lambdaI)=det( ( 1-lambda , -1 , 1 ),( -1 , 1-lambda , 1 ),( 0 , 0 , k-lambda ) )=(1-lambda)^2(k-lambda)-(k-lambda)=-lambda^3+(k+2)lambda^2-2klambda= $
$ =lambda(-lambda^2+(k+2)lambda-2k)=lambda(k-lambda)(lambda-2) $
Invece, usando il metodo di Gauss, ottengo:
$ ( ( 1-lambda , -1 , 1 ),( -1 , 1-lambda , 1 ),( 0 , 0 , k-lambda ) ) rArr R2+1/(1-lambda)R1 rArr ( ( 1-lambda , -1 , 1 ),( 0 , ((1-lambda)^2-1)/(1-lambda) , ((1-lambda)+1)/(1-lambda) ),( 0 , 0 , k-lambda ) ) $
ora, devo moltiplicare le righe in modo che i pivot siano pari a $ 1 $, ovvero:
$ 1/(1-lambda)R1 $ da cui, per il metodo, ho che $ alpha_1=(1-lambda) $
$ (1-lambda)/(1-lambda)^2-1R2 $ da cui, per il metodo, ho che $ alpha_2=((1-lambda)^2-1)/(1-lambda) $
$ 1/(k-lambda)R3 $ da cui, per il metodo, ho che $ alpha_3=(k-lambda) $
Quindi $ det(A-lambdaI)=alpha_1*alpha_2*alpha_3=(1-lambda)((1-lambda)^2-1)/(1-lambda)(k-lambda) $
Ma dove sbaglio???
Grazie a chi mi sa rispondere.
.BRN
più volte ho usato il metodo di eliminazione di Gauss per determinare un determinante, ma spesso quando sono in presenza di parametri liberi, i risultati non mi tornano.
Un esempio:
devo trovare gli autovalori di questa matrice
$ A=( ( 1 , -1 , 1 ),( -1 , 1 , 1 ),( 0 , 0 , k ) ) $
quindi, usando il metodo di Sarruss, ottengo:
$ det(A-lambdaI)=det( ( 1-lambda , -1 , 1 ),( -1 , 1-lambda , 1 ),( 0 , 0 , k-lambda ) )=(1-lambda)^2(k-lambda)-(k-lambda)=-lambda^3+(k+2)lambda^2-2klambda= $
$ =lambda(-lambda^2+(k+2)lambda-2k)=lambda(k-lambda)(lambda-2) $
Invece, usando il metodo di Gauss, ottengo:
$ ( ( 1-lambda , -1 , 1 ),( -1 , 1-lambda , 1 ),( 0 , 0 , k-lambda ) ) rArr R2+1/(1-lambda)R1 rArr ( ( 1-lambda , -1 , 1 ),( 0 , ((1-lambda)^2-1)/(1-lambda) , ((1-lambda)+1)/(1-lambda) ),( 0 , 0 , k-lambda ) ) $
ora, devo moltiplicare le righe in modo che i pivot siano pari a $ 1 $, ovvero:
$ 1/(1-lambda)R1 $ da cui, per il metodo, ho che $ alpha_1=(1-lambda) $
$ (1-lambda)/(1-lambda)^2-1R2 $ da cui, per il metodo, ho che $ alpha_2=((1-lambda)^2-1)/(1-lambda) $
$ 1/(k-lambda)R3 $ da cui, per il metodo, ho che $ alpha_3=(k-lambda) $
Quindi $ det(A-lambdaI)=alpha_1*alpha_2*alpha_3=(1-lambda)((1-lambda)^2-1)/(1-lambda)(k-lambda) $
Ma dove sbaglio???
Grazie a chi mi sa rispondere.
.BRN
Risposte
Se ho visto bene, da nessuna parte. Abbi un po' di buona volontà e semplifica-svolgi l'espressione $(1-lambda) frac {(1-lambda)^2 - 1} {1-lambda} (k-lambda)$ e magari trovi la risposta che cerchi.
In realtà, usando Gauss in questo caso un errore (almeno di tipo formale) c'è: chi ti dice che $\lambda\ne 1$? Se così non fosse, la riduzione per righe che hai fatto non avrebbe senso.
ciampax ha assolutamente ragione e ti ha anche posto davanti al dubbio che ti sarebbe dovuto venire semplificando l'espressione che ti ho suggerito di semplificare...
Cavolo ragazzi!!!!! Avete ragionissimo!!!!
E' che sono una mezza pippa nel fare i conti e sbagliavo a scomporre $ (1-lambda)^2-1 $
Comunque, grazie a tutti e due!
.BRN
E' che sono una mezza pippa nel fare i conti e sbagliavo a scomporre $ (1-lambda)^2-1 $
Comunque, grazie a tutti e due!
.BRN
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