Matrice di Jordan
Data la matrice:
$A = ((1,0,-1,0),(0,1,0,1),(0,1,1,0),(0,0,0,1))$
devo trovare basi di tutti gli autospazi generalizzati di $A$.
L'unico autovalore è $lambda = 1$ (m.a. = 4 , m.g. = 1). Gli autospazi sono:
$"Ker" ( A - I_4 ) = < ((1),(0),(0),(0)) >$
$"Ker" ( A - I_4 )^2 = < ((1),(0),(0),(0)) , ((0),(0),(1),(0)) >$
$"Ker" ( A - I_4 )^3 = < ((1),(0),(0),(0)) , ((0),(0),(1),(0)) , ((0),(1),(0),(0)) >$
$"Ker" ( A - I_4 )^4 = RR^4$
Ora come si trova la famosa base di Jordan?
$A = ((1,0,-1,0),(0,1,0,1),(0,1,1,0),(0,0,0,1))$
devo trovare basi di tutti gli autospazi generalizzati di $A$.
L'unico autovalore è $lambda = 1$ (m.a. = 4 , m.g. = 1). Gli autospazi sono:
$"Ker" ( A - I_4 ) = < ((1),(0),(0),(0)) >$
$"Ker" ( A - I_4 )^2 = < ((1),(0),(0),(0)) , ((0),(0),(1),(0)) >$
$"Ker" ( A - I_4 )^3 = < ((1),(0),(0),(0)) , ((0),(0),(1),(0)) , ((0),(1),(0),(0)) >$
$"Ker" ( A - I_4 )^4 = RR^4$
Ora come si trova la famosa base di Jordan?
Risposte
Ciao 
Be', intanto dovresti capire quanti sono i blocchi di Jordan che ci ritroveremo. Se hai visto un po' di teoria, dovresti aver concluso che tale numero coincide con la m.g. dell'autovalore. Dunque puoi già scrivere la matrice in forma di Jordan (e se ti interessa puoi leggere subito il polinomio minimo dell'endomorfismo).
Se poi vuoi anche trovare la base, allora la faccenda è un po' più delicata e devi fare un po' di conti. In sostanza, si fa così: sia $V_i="Ker" ( A - I_4 )^i$. L'idea è di prendere un po' di vettori di $V_4$ che non stanno in $V_3$: quanti? Esattamente $"dim" V_4 - "dim" V_3$.
[Si potrebbe scrivere $V_4 \setminus V_3$ ma la notazione è imprecisa; se padroneggi il concetto di spazio quoziente allora si può formalizzare bene la cosa, ma lascio a te i dettagli.]
Comunque, nel tuo caso prendi un vettore $mathbf{v}$ come ti ho descritto e poi calcoli $(A-I)\mathbf{v}$, $(A-I)^{2}\mathbf{v}$, $(A-I)^{3}\mathbf{v}$.
Ti lascio il piacere di convincerti che i quattro vettori presi nell'ordine giusto sono la base di Jordan cercata.
Nel caso generale, ripeti questa procedura per ogni autovalore e per ogni blocco (ecco perché è importante capire quanti sono).
Comunque, il suggerimento migliore che ti posso dare è quello di leggere e studiare approfonditamente la teoria. Non è facile, prenditi del tempo perché ci vuole un po'.
Be', intanto dovresti capire quanti sono i blocchi di Jordan che ci ritroveremo. Se hai visto un po' di teoria, dovresti aver concluso che tale numero coincide con la m.g. dell'autovalore. Dunque puoi già scrivere la matrice in forma di Jordan (e se ti interessa puoi leggere subito il polinomio minimo dell'endomorfismo).
Se poi vuoi anche trovare la base, allora la faccenda è un po' più delicata e devi fare un po' di conti. In sostanza, si fa così: sia $V_i="Ker" ( A - I_4 )^i$. L'idea è di prendere un po' di vettori di $V_4$ che non stanno in $V_3$: quanti? Esattamente $"dim" V_4 - "dim" V_3$.
[Si potrebbe scrivere $V_4 \setminus V_3$ ma la notazione è imprecisa; se padroneggi il concetto di spazio quoziente allora si può formalizzare bene la cosa, ma lascio a te i dettagli.]
Comunque, nel tuo caso prendi un vettore $mathbf{v}$ come ti ho descritto e poi calcoli $(A-I)\mathbf{v}$, $(A-I)^{2}\mathbf{v}$, $(A-I)^{3}\mathbf{v}$.
Ti lascio il piacere di convincerti che i quattro vettori presi nell'ordine giusto sono la base di Jordan cercata.
Nel caso generale, ripeti questa procedura per ogni autovalore e per ogni blocco (ecco perché è importante capire quanti sono).
Comunque, il suggerimento migliore che ti posso dare è quello di leggere e studiare approfonditamente la teoria. Non è facile, prenditi del tempo perché ci vuole un po'.
Sei stato chiarissimo, come al solito.
La domanda che pongo ora ha un versante completamente pratico: è necessario farsi un'idea di come sarà fatta la forma canonica di Jordan (numero di blocchi) se l'intento finale è comunque quella di trovare la base di Jordan e di trovare la matrice $P$ che jordanizza la matrice data?
Grazie Paolo.
La domanda che pongo ora ha un versante completamente pratico: è necessario farsi un'idea di come sarà fatta la forma canonica di Jordan (numero di blocchi) se l'intento finale è comunque quella di trovare la base di Jordan e di trovare la matrice $P$ che jordanizza la matrice data?
Grazie Paolo.
"Seneca":
La domanda che pongo ora ha un versante completamente pratico: è necessario farsi un'idea di come sarà fatta la forma canonica di Jordan (numero di blocchi) se l'intento finale è comunque quella di trovare la base di Jordan e di trovare la matrice $P$ che jordanizza la matrice data?
Mah, guarda, per come la vedo io, trovare la matrice in forma di Jordan è il meno: voglio dire è una cosa abbastanza "rapida", specialmente se uno ha già trovato la base rispetto alla quale la matrice assume quella forma.
Non so come procedi tu di solito a livello pratico-algoritmico, ma mi sembra proprio che non sia particolarmente "pesante" trovare la matrice in forma canonica (di Jordan); al contrario, come ti scrivevo già sopra, penso che sia molto più lungo e calcoloso trovare la base.
Ok?
"Seneca":
Grazie Paolo.
Prego, figurati. Grazie a te
P.S.
"Seneca":
jordanizza
Non l'avevo mai sentito: che brutta parola!
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