Matrice diagonale dubbio teoria
Buona sera a tutti!
In questi ultimi giorni ho dato una riguardatina ai testi di geometria e stasera mi è sorto un dubbio riguardo il seguente teorema:
"Una matrice A è diagonabilizzabile se possiede una base di autovettori di A.
In tal caso risulta che $A=S\LambdaS^(-1)$,
dove $S=(h_1|...|h_n)$ con $h_i$ autovettore relativo all'autovalore $\lambda_i$
e $\Lambda$ è la matrice diagonale costruita con gli autovalori di A."
Quello che mi chiedo è se posso affermare direttamente, una volta trovati gli autovalori e verificate le ipotesi di diagonabilizzabilità, che la matrice diagonale di A è direttamente $\Lambda$ rispetto la base $S=(h_1|...|h_n)$.
Il dubbio mi sorge perchè in tutti gli esempi svolti sul testo si calcola la matrice diagonale nel seguente modo:
$AS=S\Lambda=>\Lambda=S^(-1)AS$
Ora secondo le idee che mi sono fatto mi pare una cosa inutile, in quanto per poter risolvere l'equazione bisogna ricavarsi la matrice $S$, cioè bisogna calcolarsi gli autovalori.
Ma una volta calcolati gli autovalori l'esercizio può interrompersi, in quanto si può concludere mediante la definizione di $\Lambda$.
L'unica spiegazione che mi sembra plausibile è che in questi esercizi non si sfruttano i teoremi che garantiscono la diagonabilizzabilità di A, quindi ci si ricava $S$ per verificare che effettivamente sia una base.
Magari sono io che mi sono perso qualche pezzo per strada, quindi se qualcuno può spiegarmi come funziona la faccenda mi farebbe un gran favore.
Se poi mi sono spiegato male posto un esercizio.
Grazie in anticipo a tutti!
In questi ultimi giorni ho dato una riguardatina ai testi di geometria e stasera mi è sorto un dubbio riguardo il seguente teorema:
"Una matrice A è diagonabilizzabile se possiede una base di autovettori di A.
In tal caso risulta che $A=S\LambdaS^(-1)$,
dove $S=(h_1|...|h_n)$ con $h_i$ autovettore relativo all'autovalore $\lambda_i$
e $\Lambda$ è la matrice diagonale costruita con gli autovalori di A."
Quello che mi chiedo è se posso affermare direttamente, una volta trovati gli autovalori e verificate le ipotesi di diagonabilizzabilità, che la matrice diagonale di A è direttamente $\Lambda$ rispetto la base $S=(h_1|...|h_n)$.
Il dubbio mi sorge perchè in tutti gli esempi svolti sul testo si calcola la matrice diagonale nel seguente modo:
$AS=S\Lambda=>\Lambda=S^(-1)AS$
Ora secondo le idee che mi sono fatto mi pare una cosa inutile, in quanto per poter risolvere l'equazione bisogna ricavarsi la matrice $S$, cioè bisogna calcolarsi gli autovalori.
Ma una volta calcolati gli autovalori l'esercizio può interrompersi, in quanto si può concludere mediante la definizione di $\Lambda$.
L'unica spiegazione che mi sembra plausibile è che in questi esercizi non si sfruttano i teoremi che garantiscono la diagonabilizzabilità di A, quindi ci si ricava $S$ per verificare che effettivamente sia una base.
Magari sono io che mi sono perso qualche pezzo per strada, quindi se qualcuno può spiegarmi come funziona la faccenda mi farebbe un gran favore.
Se poi mi sono spiegato male posto un esercizio.
Grazie in anticipo a tutti!
Risposte
Non hai bisogno di calcolarti la matrice diagonale perché è evidente dalla basa scelta. D'altra parte spesso è utile avere la matrice di trasformazione per altri calcoli.
Inoltre fare la moltiplicazione è un controllo che tu abbia effettivamente la base e la matrice giuste.
Inoltre fare la moltiplicazione è un controllo che tu abbia effettivamente la base e la matrice giuste.
Perfetto!
Grazie mille!
Grazie mille!
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