Confusione spazio T0 e T1
Ciao,
sono uno studente del II anno del C.d.L. in Matematica (Bari).
Sto preparando l'esame di topologia e ho un problema con la definizione di spazio T1.
Il mio testo di riferimento, il Sernesi 2, definisce T1 uno spazio topologico in cui i punti sono sottoinsiemi chiusi e dà come proposizione che uno spazio è T1 se e solo se per ogni coppia di punti x e y esistono due aperti U e V tali che U contiene x e non y, mentre V contiene y e non x.
Su Wikipedia si dà quella che per il Sernesi è una proposizione come definizione e si dimostra quella che per il testo è la definizione.
Fin qui, tutto bene.
I problemi sorgono consultando gli appunti presi a lezione (che sono il riferimento principale per la preparazione dell'esame):
il mio docente ha definito T1 uno spazio topologico in cui per ogni coppia di punti distinti x e y esiste almeno un aperto che contenga uno di questi e non l'altro.
Questa è la definizione che universalmente è attribuita a spazi T0 (cfr. Wikipedia ad esempio).
Il mio problema non è solo terminologico, perché nell'ambito del corso abbiamo utilizzato questo T1 anche nelle def. di T3 e T4 (così come fa il Sernesi, però per il Sernesi T1 è una cosa un po' diversa!); ma la cosa più sconvolgente è che abbiamo caratterizzato "il nostro T1" (=T0) come uno spazio topologico in cui i punti sono sottoinsiemi chiusi.
Riporto la dimostrazione di questo risultato:
Sp. top. X è T1 <=> per ogni x in X: {x} è chiuso in X
Ricordiamo preliminarmente che, sia $AsubX$, allora $x in\barA$ <=> per ogni U in X aperto t.c. $x in U$: $UnnA!=\emptyset$. (*)
=>) Facciamo vedere che X sp. to. T1 => per ogni x in X: {x} chiuso in X
Basta far vedere che $\bar{{x}} = {x}$; è sempre vero che $\bar{{x}} sup {x}$.
Supp. per assurdo che $EE y in \bar{{x}}$ t.c. $y!=x$; poiché X è T1 (attenzione: sto utilizzando la definizione data dal docente a lezione, che, come già osservato, coincide con quella classica di T0) esiste U aperto di X che contiene y ma non contiene x => CONTRADDIZIONE visto che $y in \bar{{x}}$ e dunque dovrebbe essere $U nn {x}!=\emptyset$ che implica $x in U$.
<=) Facciamo vedere che se per ogni x in X: {x} chiuso in X allora X è T1.
Siano $x, y in X$, $x!=y$.
$y notin {x} = \bar{{x}}$ => esiste U aperto di X, $y in U$ t.c. $U nn {x}=\emptyset$ (negando (*)), allora $x notin U$.
Ora, se la dimostrazione è corretta, ciò implicherebbe che T1<=>T0 (nelle loro def. classiche)! Ma che senso avrebbe?
Wikipedia riporta un esempio di spazio T0 ma non T1:
· La retta avente come aperti tutte le semirette x>d al variare di d fra i numeri reali è T0 ma non T1.
Dov'è l'inghippo?
sono uno studente del II anno del C.d.L. in Matematica (Bari).
Sto preparando l'esame di topologia e ho un problema con la definizione di spazio T1.
Il mio testo di riferimento, il Sernesi 2, definisce T1 uno spazio topologico in cui i punti sono sottoinsiemi chiusi e dà come proposizione che uno spazio è T1 se e solo se per ogni coppia di punti x e y esistono due aperti U e V tali che U contiene x e non y, mentre V contiene y e non x.
Su Wikipedia si dà quella che per il Sernesi è una proposizione come definizione e si dimostra quella che per il testo è la definizione.
Fin qui, tutto bene.
I problemi sorgono consultando gli appunti presi a lezione (che sono il riferimento principale per la preparazione dell'esame):
il mio docente ha definito T1 uno spazio topologico in cui per ogni coppia di punti distinti x e y esiste almeno un aperto che contenga uno di questi e non l'altro.
Questa è la definizione che universalmente è attribuita a spazi T0 (cfr. Wikipedia ad esempio).
Il mio problema non è solo terminologico, perché nell'ambito del corso abbiamo utilizzato questo T1 anche nelle def. di T3 e T4 (così come fa il Sernesi, però per il Sernesi T1 è una cosa un po' diversa!); ma la cosa più sconvolgente è che abbiamo caratterizzato "il nostro T1" (=T0) come uno spazio topologico in cui i punti sono sottoinsiemi chiusi.
Riporto la dimostrazione di questo risultato:
Sp. top. X è T1 <=> per ogni x in X: {x} è chiuso in X
Ricordiamo preliminarmente che, sia $AsubX$, allora $x in\barA$ <=> per ogni U in X aperto t.c. $x in U$: $UnnA!=\emptyset$. (*)
=>) Facciamo vedere che X sp. to. T1 => per ogni x in X: {x} chiuso in X
Basta far vedere che $\bar{{x}} = {x}$; è sempre vero che $\bar{{x}} sup {x}$.
Supp. per assurdo che $EE y in \bar{{x}}$ t.c. $y!=x$; poiché X è T1 (attenzione: sto utilizzando la definizione data dal docente a lezione, che, come già osservato, coincide con quella classica di T0) esiste U aperto di X che contiene y ma non contiene x => CONTRADDIZIONE visto che $y in \bar{{x}}$ e dunque dovrebbe essere $U nn {x}!=\emptyset$ che implica $x in U$.
<=) Facciamo vedere che se per ogni x in X: {x} chiuso in X allora X è T1.
Siano $x, y in X$, $x!=y$.
$y notin {x} = \bar{{x}}$ => esiste U aperto di X, $y in U$ t.c. $U nn {x}=\emptyset$ (negando (*)), allora $x notin U$.
Ora, se la dimostrazione è corretta, ciò implicherebbe che T1<=>T0 (nelle loro def. classiche)! Ma che senso avrebbe?
Wikipedia riporta un esempio di spazio T0 ma non T1:
· La retta avente come aperti tutte le semirette x>d al variare di d fra i numeri reali è T0 ma non T1.
Dov'è l'inghippo?
Risposte
Non ho letto tutto il post ma non mi stupirei se aveste ragione tutti e due. Queste definizioni di spazio T0, T1, T2, T3 e mezzo (!) sono ormai obsolete e inoltre alcuni autori ne adottano delle versioni diverse, cosicché capitano fraintendimenti. Suggerisco di imparare le definizioni del professore per l'esame ma di usare in seguito un linguaggio più descrittivo. Ne parlammo anche con ciampax:
post529700.html#p529700
post529700.html#p529700
Piano piaaaano 
L'assioma T0 scritto con la massima formalità è così:
Uno spazio topologico [tex]X[/tex] si dice T0 se presi due qualunque punti distinti [tex]x,y \in X[/tex] esiste un aperto [tex]U[/tex] tale che una delle seguenti asserzioni vale:
a) [tex]U[/tex] contiene [tex]x[/tex] ma non [tex]y[/tex];
b) [tex]U[/tex] contiene [tex]y[/tex] ma non [tex]x[/tex].
Il più semplice esempio di spazio T0 ma non T1 è questo: [tex]X=\{1,2\}[/tex] con la topologia [tex]\tau = \{\emptyset,\ \{1\},\ \{1,2\}\}[/tex].
Se ti è utile, puoi vederla così:
Assioma di separazione T0: c'è al più un punto denso.
Assioma di separazione T1: i punti sono chiusi.
"haterofman":L'errore sta nella frase che ho segnato in grassetto. L'assioma T0 non ti garantisce l'esistenza di un tale aperto U. Ti dice solo che se non esiste quell' U allora esiste un aperto V che contiene x ma non contiene y.
=>) Facciamo vedere che X sp. to. T1 => per ogni x in X: {x} chiuso in X
Basta far vedere che $\bar{{x}} = {x}$; è sempre vero che $\bar{{x}} sup {x}$.
Supp. per assurdo che $EE y in \bar{{x}}$ t.c. $y!=x$; poiché X è T1 (attenzione: sto utilizzando la definizione data dal docente a lezione, che, come già osservato, coincide con quella classica di T0) esiste U aperto di X che contiene y ma non contiene x => CONTRADDIZIONE visto che $y in \bar{{x}}$ e dunque dovrebbe essere $U nn {x}!=\emptyset$ che implica $x in U$.
L'assioma T0 scritto con la massima formalità è così:
Uno spazio topologico [tex]X[/tex] si dice T0 se presi due qualunque punti distinti [tex]x,y \in X[/tex] esiste un aperto [tex]U[/tex] tale che una delle seguenti asserzioni vale:
a) [tex]U[/tex] contiene [tex]x[/tex] ma non [tex]y[/tex];
b) [tex]U[/tex] contiene [tex]y[/tex] ma non [tex]x[/tex].
Il più semplice esempio di spazio T0 ma non T1 è questo: [tex]X=\{1,2\}[/tex] con la topologia [tex]\tau = \{\emptyset,\ \{1\},\ \{1,2\}\}[/tex].
Se ti è utile, puoi vederla così:
Assioma di separazione T0: c'è al più un punto denso.
Assioma di separazione T1: i punti sono chiusi.
Grazie delle risposte.
Ora abbiamo assodato che quella dimostrazione non funziona per quello che di solito si intende con T0.
Però resta il fatto che la def. che il mio prof. ha dato di T1 sembra essere proprio quella di T0 e dunque l'errore sta nella dimostrazione (perché in quel passaggio che Martino ha evidenziato si richiede di più di quello che la def. garantisce).
Riporto pedissequamente la def. degli appunti:
X sp. top.
X si dice spazio T1 se per ogni $x,y in X$, $x!=y$ esiste $U sub X$ aperto t.c. $y in U$, $x notin U$
In effetti da come è scritta questa def., la dimostrazione sopracitata dovrebbe funzionare perché se per ogni coppia (x,y) di punti distinti esiste almeno un U t.c. contiene x ma non y, allora considerando la coppia (y,x) esisterà almeno un altro aperto V t.c. contiene y ma non x ricadendo così nella "classica" definizione di T1.
Invece T0 richiede che data un coppia di punti distinti (x,y) esista almeno un aperto che contenga uno, ad es. x, ma non l'altro, y, ma non si richiede che esista necessariamente anche un'altro aperto che contenga y e non x.
Ora ci siamo?
Grazie mille per il supporto!
Ora abbiamo assodato che quella dimostrazione non funziona per quello che di solito si intende con T0.
Però resta il fatto che la def. che il mio prof. ha dato di T1 sembra essere proprio quella di T0 e dunque l'errore sta nella dimostrazione (perché in quel passaggio che Martino ha evidenziato si richiede di più di quello che la def. garantisce).
Riporto pedissequamente la def. degli appunti:
X sp. top.
X si dice spazio T1 se per ogni $x,y in X$, $x!=y$ esiste $U sub X$ aperto t.c. $y in U$, $x notin U$
In effetti da come è scritta questa def., la dimostrazione sopracitata dovrebbe funzionare perché se per ogni coppia (x,y) di punti distinti esiste almeno un U t.c. contiene x ma non y, allora considerando la coppia (y,x) esisterà almeno un altro aperto V t.c. contiene y ma non x ricadendo così nella "classica" definizione di T1.
Invece T0 richiede che data un coppia di punti distinti (x,y) esista almeno un aperto che contenga uno, ad es. x, ma non l'altro, y, ma non si richiede che esista necessariamente anche un'altro aperto che contenga y e non x.
Ora ci siamo?
Grazie mille per il supporto!
"haterofman":Certo.
X sp. top.
X si dice spazio T1 se per ogni $x,y in X$, $x!=y$ esiste $U sub X$ aperto t.c. $y in U$, $x notin U$
In effetti da come è scritta questa def., la dimostrazione sopracitata dovrebbe funzionare perché se per ogni coppia (x,y) di punti distinti esiste almeno un U t.c. contiene x ma non y, allora considerando la coppia (y,x) esisterà almeno un altro aperto V t.c. contiene y ma non x ricadendo così nella "classica" definizione di T1.
Invece T0 richiede che data un coppia di punti distinti (x,y) esista almeno un aperto che contenga uno, ad es. x, ma non l'altro, y, ma non si richiede che esista necessariamente anche un'altro aperto che contenga y e non x.Esatto.
Per farti un altro esempio, considera l'insieme [tex]X=\{0\} \cup P[/tex] dove [tex]P=\{2,3,5,...\}[/tex] è l'insieme dei numeri primi, e dato un intero [tex]n[/tex] definisci [tex]V(n)[/tex] come l'insieme degli elementi di [tex]X[/tex] che dividono [tex]n[/tex]. Puoi verificare che l'insieme [tex]\{X-V(n)\ |\ n \in \mathbb{Z}\}[/tex] è una topologia su [tex]X[/tex] che è T0 ma non T1, infatti [tex]\{0\}[/tex] è un punto denso (quindi non chiuso! - ed è l'unico punto non chiuso, dato che se [tex]p \in P[/tex] allora [tex]V(p)=\{p\}[/tex]). In altre parole dato un qualsiasi primo [tex]p[/tex] esiste un aperto che contiene [tex]0[/tex] ma non [tex]p[/tex] (per esempio [tex]X-V(p)[/tex]: in altre parole [tex]p[/tex] è divisibile per [tex]p[/tex] ma non per [tex]0[/tex]), ma non esiste un aperto che contiene [tex]p[/tex] ma non [tex]0[/tex] (se [tex]0 \in V(n)[/tex] allora [tex]n=0[/tex] e quindi [tex]V(n)=X[/tex]: in altre parole nessun intero non nullo è divisibile per [tex]0[/tex]).
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