Esercizio:trovare nucleo della trasformazione lineare
Salve,
questo è il testo dell'esercizio in questione, spero in un vostro aiuto!!Ho cominciato da poco a studiare per preparare questa materia e nn ho le idee chiare su molte cosi..comincio da questo esercizio!
Grazie in anticipo!!
Sapendo che f(1,2,1,1)=(2,-1,1), f(2,-1,-1,1)=(-1,1,-1),f(-1,-1,2,1)=(1,1,-2) e f(1,-2,-1,-2)=(0,-1,4), stabilire quale tra i seguenti vettori genera il nucleo della trasformazione lineare f:R4-->R3
risp:
A) v=3,4,-3,3
B) v=21,8,-7,11
C) v=51,-2,-17,21
D) v=23,-22,-9,7
questo è il testo dell'esercizio in questione, spero in un vostro aiuto!!Ho cominciato da poco a studiare per preparare questa materia e nn ho le idee chiare su molte cosi..comincio da questo esercizio!
Grazie in anticipo!!
Sapendo che f(1,2,1,1)=(2,-1,1), f(2,-1,-1,1)=(-1,1,-1),f(-1,-1,2,1)=(1,1,-2) e f(1,-2,-1,-2)=(0,-1,4), stabilire quale tra i seguenti vettori genera il nucleo della trasformazione lineare f:R4-->R3
risp:
A) v=3,4,-3,3
B) v=21,8,-7,11
C) v=51,-2,-17,21
D) v=23,-22,-9,7
Risposte
Buongiorno e benvenut* tra noi.
Hai scritto la matrice associata all'applicazione lineare? E' la prima cosa da fare, in casi del genere. Fissa due basi e scrivi la matrice.
Ti consiglio comunque di studiare bene la teoria prima di cimentarti con gli esercizi.
Buona permanenza.
Hai scritto la matrice associata all'applicazione lineare? E' la prima cosa da fare, in casi del genere. Fissa due basi e scrivi la matrice.
Ti consiglio comunque di studiare bene la teoria prima di cimentarti con gli esercizi.
Buona permanenza.
Ciao,
intanto grazie per il suggerimento;
Ti spiego meglio dove sta il problema: ho risolto un esercizio in apparenza simile in cui mi si chiedeva di determinare la trasformazione lineare da R3-->R4 che mandava v1 (...) su w1(..), v2 su w2 e v3 su w3;
A fatto in questo modo: ho scritto la matrice 3x3 relativa ai vettori v1,v2,v3; ne ho calcolato l'inversa;
Poi ho moltiplicato la matrice 3x4 associata ai vettori w1,w2,w3 per l'inversa trovata in prima e in questo modo ho trovato la trasformazione lineare...
Adesso in questo esercizio non so come procedere in quanto lavoro con una matrice 4x4 e una 4x3...
intanto grazie per il suggerimento;
Ti spiego meglio dove sta il problema: ho risolto un esercizio in apparenza simile in cui mi si chiedeva di determinare la trasformazione lineare da R3-->R4 che mandava v1 (...) su w1(..), v2 su w2 e v3 su w3;
A fatto in questo modo: ho scritto la matrice 3x3 relativa ai vettori v1,v2,v3; ne ho calcolato l'inversa;
Poi ho moltiplicato la matrice 3x4 associata ai vettori w1,w2,w3 per l'inversa trovata in prima e in questo modo ho trovato la trasformazione lineare...
Adesso in questo esercizio non so come procedere in quanto lavoro con una matrice 4x4 e una 4x3...
Il problema è che non hai davanti un endomorfismo e, quindi, in sostanza, non vale la bella formuletta $B=P^{-1}AP$ che ti permette di scrivere la matrice rispetto a basi diverse.
Io ti consiglierei di fare tutti i passaggi, anche se potrebbero risultare un po' calcolosi.
Dunque, per prima cosa devi trovare le immagini dei vettori della base canonica di $RR^4$. Per fare questo devi scrivere, ad esempio, $(1,0,0,0)$ come combinazione lineare dei quattro vettori di partenza (di cui ti vengono date le immagini).
E così via anche con $(0,1,0,0)$ e gli altri vettori della base. Ok?
Io ti consiglierei di fare tutti i passaggi, anche se potrebbero risultare un po' calcolosi.
Dunque, per prima cosa devi trovare le immagini dei vettori della base canonica di $RR^4$. Per fare questo devi scrivere, ad esempio, $(1,0,0,0)$ come combinazione lineare dei quattro vettori di partenza (di cui ti vengono date le immagini).
E così via anche con $(0,1,0,0)$ e gli altri vettori della base. Ok?
in pratica moltiplicare la matrice 4x4 con i 4 vettori della base canonica, uno per volta, e vedere a cosa corrispondono?
ho scritto una cavolata..
Hey paolo forse ho capito cosa mi dicevi;mi scrivo i 4 vettori della base canonica a partire da (1,0,0,0) come combinazione lineare degli altri e man mano mi trovo l'immagine risolvendo il sistema di 4 equazioni in 4 incognite...come dicevi è abbastanza lungo!
Cmq se puoi spiegami dopo cosa devo fare..
Cmq se puoi spiegami dopo cosa devo fare..
Comincia a fare quello che è un po' lungo.
Poi viene la parte facile: metti in colonna le immagini dei vettori della base e calcoli il nullspace della matrice ottenuta, ma ne parliamo dopo.
Ah, ti faccio osservare che il regolamento prevede che non si possano fare sollecitazioni (up) prima di 24 ore.
Poi viene la parte facile: metti in colonna le immagini dei vettori della base e calcoli il nullspace della matrice ottenuta, ma ne parliamo dopo.
Ah, ti faccio osservare che il regolamento prevede che non si possano fare sollecitazioni (up) prima di 24 ore.
Scusami ma avevo intenzione di sollecitare..tu mi avevi chiesto nella tua seconda risposta se avevo capito, all'inizio se ci fai caso ho scritto una cavolata in quanto nn avevo inteso come procedere..dopo ho voluto informarti che avevo capito..scusa se è sembrata una sollecitazione!
volevo dire che NON avevo intenzione di sollecitare ovviamente..
Sì, tranquillo, non è successo nulla. Volevo solo informarti, tutto qui. Dai comunque un'occhiata al regolamento, se non l'hai già fatto.
credo di aver terminato di trovare le immagini dei vettori della base canonica, solo che mi sorge un dubbio in quanto non capisco come mai le immagini di (1,0,0,0) e di (0,0,0,1) siano le stesse e quindi quando poi incolonno i vettori a mo di matrice ottengo 2 colonne identiche..
Molto bene. Non è un problema, può benissimo capitare che le immagini di due o più vettori siano lo stesso (sai come si esprime questa proprietà mediante il linguaggio delle funzioni?)
Comunque, una volta che hai trovato la matrice basta che risolvi il sistema lineare omogeneo ad essa associato; in sostanza, devi determinare il nullspace della matrice che coincide appunto con il nucleo da te cercato.
Comunque, una volta che hai trovato la matrice basta che risolvi il sistema lineare omogeneo ad essa associato; in sostanza, devi determinare il nullspace della matrice che coincide appunto con il nucleo da te cercato.
Non so se ho capito bene...devo in pratica moltiplicare la matrice ,ottenuta dalle immagini dei vettori della base canonica, per (x1,x2,x3,x4) e imporla uguale a zero, in modo da trovare le incognite che in pratica indicano il nucleo cercato?
Sì, esatto.
ok, avrò allora semplicemente sbagliato qualche calcolo che, come ben saprai , sono abbastanza fastidiosi!
grazie mille per il tuo aiuto, hai confermato in pieno la fama del vostro forum!!
Un'ultima richiesta..se ti chiedessi di spiegarmi teoricamente cosa abbiamo fatto? più che altro per collegare i passaggi alla teoria!
Se ti viene difficile cmq lascia stare..per me l'interesse è quello di saper svolgere l'esercizio, in quanto la prova sarà solo scritta e a risposta multipla!
grazie mille per il tuo aiuto, hai confermato in pieno la fama del vostro forum!!
Un'ultima richiesta..se ti chiedessi di spiegarmi teoricamente cosa abbiamo fatto? più che altro per collegare i passaggi alla teoria!
Se ti viene difficile cmq lascia stare..per me l'interesse è quello di saper svolgere l'esercizio, in quanto la prova sarà solo scritta e a risposta multipla!
"nicknumberten":
ok, avrò allora semplicemente sbagliato qualche calcolo che, come ben saprai , sono abbastanza fastidiosi!
Eh già, càpita. Prova a ricontrollare i passaggi, magari ti sei perso qualcosa per strada.
"nicknumberten":
grazie mille per il tuo aiuto, hai confermato in pieno la fama del vostro forum!!
Prego, figurati; è stato un piacere.
"nicknumberten":
Un'ultima richiesta..se ti chiedessi di spiegarmi teoricamente cosa abbiamo fatto? più che altro per collegare i passaggi alla teoria!
Se ti viene difficile cmq lascia stare..per me l'interesse è quello di saper svolgere l'esercizio, in quanto la prova sarà solo scritta e a risposta multipla!
No, non mi dire queste cose, ti prego
E' reato fare Matematica senza aver capito la teoria! Io pensavo tu l'avessi già studiata! Mannaggia!
Comunque, senti: conosci le definizioni? Sai che cos'è un'applicazione, dico bene? E la definizioni di nucleo? Se le conosci non dovresti aver problemi a capire quello che abbiamo fatto; se non le conosci parti studiando quelle, poi ne riparliamo.
Ciao, ho provato a fare il tuo esercizio...diciamo che non è complicato ma richiede una grande quantità di calcoli...
1- ho trovato la matrice $A$ associata alla base canonica del dominio in questo modo:
$((a,b,c,d),(e,f,g,h),(i,j,k,l))*((1,2,-1,1),(2,-1,-1,-2),(1,-1,2,-1),(1,1,1,2))=((2,-1,1,0),(-1,1,1,-1),(1,-1,-2,4))$
eseguendo i calcoli ottengo la matrice $A$ associata all'applicazione $f$ rispetto alla base canonica dello spazio di partenza:
$A=((2/3,1/3,4/3,-2/3),(-1/2,-1/2,-1/2,1),(41/30,13/30,31/30,-34/15))$
Ora che ho la matrice $A$ trovo il suo nucleo risolvendo il sistema omogeneo associato e ottengo che il nucleo è
$v_2=(21,8,-7,11)$
Volevo chiedere se qualcuno conosce un procedimento un po' più veloce
Io avevo inizialmente preso la matrice associata all'applicazione rispetto alle basi date nell'esercizio:
$B=((2,-1,1,0),(-1,1,1,-1),(1,-1,-2,4))$
e trovato il nucleo rispetto alle basi date dall'esercizio (sia del dominio che del codominio):
$N(f)=((2,-1,1,0,|0),(-1,1,1,-1,|0),(1,-1,-2,4,|0))$
trovato il vettore $n=(3,5,-1,1)_B$
ma ovviamente questo vettore è rispetto alle basi $B=<(1,2,1,1),(2,-1,-1,1),(-1,-1,2,1),(1,-2,-1,-2)>$ del dominio e
$B'=<(2,-1,1),(-1,1,-1),(1,1,-2)$ del codominio...
Non capisco come poter trovare la matrice di cambiamento di base dalla base $B$ alla base canonica $C$ per poter scrivere il vettore $n=(3,5,-1,1)_B$ rispetto alla base canonica $C$ ....
qualcuno sa' spiegarmi meglio?
1- ho trovato la matrice $A$ associata alla base canonica del dominio in questo modo:
$((a,b,c,d),(e,f,g,h),(i,j,k,l))*((1,2,-1,1),(2,-1,-1,-2),(1,-1,2,-1),(1,1,1,2))=((2,-1,1,0),(-1,1,1,-1),(1,-1,-2,4))$
eseguendo i calcoli ottengo la matrice $A$ associata all'applicazione $f$ rispetto alla base canonica dello spazio di partenza:
$A=((2/3,1/3,4/3,-2/3),(-1/2,-1/2,-1/2,1),(41/30,13/30,31/30,-34/15))$
Ora che ho la matrice $A$ trovo il suo nucleo risolvendo il sistema omogeneo associato e ottengo che il nucleo è
$v_2=(21,8,-7,11)$
Volevo chiedere se qualcuno conosce un procedimento un po' più veloce
Io avevo inizialmente preso la matrice associata all'applicazione rispetto alle basi date nell'esercizio:
$B=((2,-1,1,0),(-1,1,1,-1),(1,-1,-2,4))$
e trovato il nucleo rispetto alle basi date dall'esercizio (sia del dominio che del codominio):
$N(f)=((2,-1,1,0,|0),(-1,1,1,-1,|0),(1,-1,-2,4,|0))$
trovato il vettore $n=(3,5,-1,1)_B$
ma ovviamente questo vettore è rispetto alle basi $B=<(1,2,1,1),(2,-1,-1,1),(-1,-1,2,1),(1,-2,-1,-2)>$ del dominio e
$B'=<(2,-1,1),(-1,1,-1),(1,1,-2)$ del codominio...
Non capisco come poter trovare la matrice di cambiamento di base dalla base $B$ alla base canonica $C$ per poter scrivere il vettore $n=(3,5,-1,1)_B$ rispetto alla base canonica $C$ ....
qualcuno sa' spiegarmi meglio?
Ciao.
No, qui c'è un errore. La matrice è scritta rispetto alla base $B$ del dominio (che scrivi tu) e rispetto alla base canonica del codominio! I vettori scelti come immagine non devono necessariamente costituire una base, anzi.
Ora devo scappare, ma mi premeva dirti questa cosa. Caso mai, più tardi ne riparliamo.
"davymartu":
Volevo chiedere se qualcuno conosce un procedimento un po' più veloce
Io avevo inizialmente preso la matrice associata all'applicazione rispetto alle basi date nell'esercizio:
$B=((2,-1,1,0),(-1,1,1,-1),(1,-1,-2,4))$
e trovato il nucleo rispetto alle basi date dall'esercizio (sia del dominio che del codominio):
$N(f)=((2,-1,1,0,|0),(-1,1,1,-1,|0),(1,-1,-2,4,|0))$
trovato il vettore $n=(3,5,-1,1)_B$
ma ovviamente questo vettore è rispetto alle basi $B=<(1,2,1,1),(2,-1,-1,1),(-1,-1,2,1),(1,-2,-1,-2)>$ del dominio e
$B'=<(2,-1,1),(-1,1,-1),(1,1,-2)$ del codominio...
No, qui c'è un errore. La matrice è scritta rispetto alla base $B$ del dominio (che scrivi tu) e rispetto alla base canonica del codominio! I vettori scelti come immagine non devono necessariamente costituire una base, anzi.
Ora devo scappare, ma mi premeva dirti questa cosa. Caso mai, più tardi ne riparliamo.
allora ho un "buco teorico"...
Come ricavo la matrice associata all'applicazione rispetto alle basi $B$ del dominio e $B'$ del codominio?
Come ricavo la matrice associata all'applicazione rispetto alle basi $B$ del dominio e $B'$ del codominio?
"davymartu":
allora ho un "buco teorico"...
Come ricavo la matrice associata all'applicazione rispetto alle basi $B$ del dominio e $B'$ del codominio?
E' un "buchetto teorico" abbastanza grosso, se mi posso permettere. Menomale che è venuto fuori, così puoi colmare questa lacuna ed avere le idee chiare.
Hai letto i tuoi appunti/il tuo libro? Cerca "Teorema fondamentale sulle applicazioni lineari" o qualcosa del genere.
Da parte mia, io ti chiedo: qual è la base $B'$ del codominio cui stai facendo riferimento?
Credo di aver intuito la risposta che mi stai per dare; ma allora ti chiedo: "Sei sicuro che sia veramente una base?"
Che cosa accadrebbe se ti dessi come applicazione lineare quella che manda $(1,0,0,0)$, $(0,0,0,1)$ in $(0,0,0)$ e $(0,1,0,0)$, $(0,0,1,0)$ in $(1,0,0)$? A che base ti riferiresti?
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