Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Buon pomeriggio,ho un pò difficoltà nella risoluzione di questo esercizio:determinare le rette del piano
$\sigma$ : $ x -y-z=0 $ che formano un angolo di $\pi/3 $ con la retta r $ \{(x-y = 0 ),(z = 2):}$ .Avevo pensato di procedere in questo modo , considerando innanzitutto che le rette del piano(fascio) sono ortogonali con la retta r quindi $ vf vr = 0 $
$ vf(l,m,m)*(1,1,0)=0$ ---> $ l+m=0 $ ovvero $ l=-m $ e poi applicando la formula per angolo fra rette (del ...
ragazzi gentilmente mi dareste qualche consiglio su come risolvere questo esercizio?
Si fissi in E3 un riferimento cartesiano R = (O; B).
(a) Si determinino equazioni delle rette r1 e r2 passanti per O, parallele al piano $ Q: x+z-3=0 $ e aventi distanza 1 dal punto $ P(0,2,0) $
(b) Si determini la circonferenza C di centro P e tangente alle rette r1 e r2.
io per trovare uno dei piani che individua le due rette (in particolare quello parallelo al piano dato) avevo pensato di ...
Dato il piano $alpha : -x+z+2=0$ Determinare due piani ortogonali e due piani paralleli ad $alpha$ e due rette ortogonali e due rette parallele ad $alpha$...apparte i due piani paralleli che subito mi ricavo sfruttando il fatto che i piani paralleli hanno eq: $-x+z+k=0$ sostituisco due valori a k e ho i due piani. Per gli altri punti(piani ortogonali,rette parallele e rette perpendicolari) paradossalmente mi sembra che sia più facile ricavarseli quando si ha per es il ...
In un riferimento cartesiano monometrico si considerino la retta r=AB con A(0,0,1) e B(0,2,0)
a) determinare le eq di 2 piani ortogonali ad r e di due piani paralleli ad r.
allora prima di tutto mi ricavo i parametri direttori della retta e ho $(l,m,n)=(0,2,-1)$ poi mi ricavo il piano $pi: l(x-x_1)+m(y-y_1)+n(z-z_1)=0$ da cui ho $pi: 2y-z+1=0$ e analogamente avrò $pi': 2y-4-z=0$ passante per B trovando così i due piani, è giusto?che poi il secondo piano volendo lo potrei trovare anche scrivendolo come ...
Nello spazio proiettivo complesso in cui sia fissato un riferimento reale R si consideri la quadrica di equazione $ x_2 x_3 = x_1 x_4 $ :
a) a quale tipo affine appartiene Q?
b) A quale tipo topologico appartiene Q?
c)La parte reale e propria di Q è connessa?
d)Scrivere l'equazione del piano tangente a Q nel punto (1,1,1,1)
Avevo pensato di fare così:
a) Scrivo la matrice associata a Q e vedo come è il determinante, visto che il determinante è non nullo, la matrice è non degenere, quinti ...
Nello spazio proiettivo complesso sia Q la quadrica reale intersecata dal piano tangente nell'origine dalla conica:
$ { ( x_1 ^2 +4x_1 x_3 =0 ),( x_2 =0 ):} $
Sappiamo che Q contiene la retta:
$ { ( x_1 +x_4 =0 ),( x1-x_4 =0 ):} $
Si classifichi Q giustificando la risposta.
SVOLGIMENTO:
Visto che abbiamo definito il piano tangente nell'origine, l'origine è un punto semplice. Poichè la conica intersezione della quadrica con il piano tangente nell'origine è unione di due rette distinte reali l'origine è un punto iperbolico. ...
Ciao a tutti,
una domanda di teoria:
Nel piano proiettivo $P^2(R)$ ho una qualsiasi conica non degenere. Come faccio a definire quando una retta è secante, tangente o non ha intersezioni?
NB: so cosa si intende per secante e tangente, sto cercando il metodo matematico per trovarle.
grazie.
Buongiorno.
Sto riscontrando qualche problema a passare da un'equazione parametrica a una cartesiana.
In particolare l'eq. parametrica è:
$\{x=1+2u-v),(y=-5u),(z=1-u-2v):}$
Solitamente devo eliminare i due parametri $u,v$ e quindi ottengo un eq.cartesiana.
Ma in questo particolare esempio non mi trovo....
Garzie a tutti.
Un insieme di vettori appartenente a R^3 è una base per R^3 se sono linearmente indipendenti (e questo so dimostrarlo) e se genera R^3.
Ma non capisco come fare a dimostrare che un insieme genera R^3, ad esempio ho questo insieme di vettori linearmente indipendenti:
S={(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)}
E' un insieme linearmente indipendente, come fare a dimostare che genera R^3?
a lezione e nelle dispense della mia prof ci è stata data la definizione di base in questo modo:
sia ${v_1,...,v_n}$ un insieme di vettori di $V$, si dice che essi sono una base finita o semplicemente base dello spazio $V$ se i vettori $v_1,...,v_n$ generano $V$ e sono linearmente indipendenti.
Però so che ci sono anche spazi di dimensione infinita,i quali dovranno avere basi con cardinalità infinita...
In questo caso come si puo' definire il ...
Salve!
Ho dei dubbi su questo esercizio:
Dati vettori u=(h + 2,3,3), v=(h,1,h),w=(-h,2,-1) si scrivano:
a) Le componenti della proiezione di w nella direzione di u quando h = -1
b) Posto h=0 le componenti dei vettori sul piano di v e w che formano angoli uguali con i due vettori
Per il punto a) ho trovato questa formula in una vecchia discussione: $((v*w)/|w|^2)*w
E' CORRETTA??
Per il punto b) non so come procedere!
Grazie in anticipo a chi mi aiuta!
Ciao a tutti,
mi servirebbe un chiarimento riguardo gli autovettori e gli autovalori.
Partiamo dalla teoria: Data una matrice quadrata A di ordine n vista come operatore di $R^n$, dato un vettore v, non nullo, di $R^n$, si dice autovalore di A se esiste $\lambda : Av = \lambdav$.
$\lambda$ è definito l'autovalore associato alla matrice A.
v è definito come l'autovettore associato alla matrice A.
Bene. Calcolare gli autovalori è semplicissimo, e lo si fa attraverso ...
Salve ragazzi, mi sono trovato per la prima volta difronte a questo problema e non so se la mia soluzione è adeguata o sto sbagliando qualcosa:
sto valutando:
\(\displaystyle W=\{(x,y) \in R^2 \ \ t.c. \ \ x=hy ,\ \ h \in R \ \ \& \ \ h \geq 0 \} \subseteq R^2 \)
devo dire se è un sottospazio e valutarne quindi una base.
Ho pensato si trattasse di un sottospazio di \(\displaystyle R^2 \) in quanto è stabile rispetto ad addizione e moltiplicazione per uno scalare e contiene l'elemento ...
Ciao, ho tra le mani questo piccolo esercizio che mi lascia pensare:
sia $ f $ un prodotto scalare definito come $ f[(x_1, x_2); (y_1, y_2)]=2x_1y_1-3x_1y_2+x_2y_2 $
determinare la matrice rappresentativa di $ f $ rispetto la base canonica in $ RR^2 $.
Bene, cerco la matrice facendo:
$ f((e_1);(e_1))=f(( ( 1 ),( 0 ) );( ( 1 ),( 0 ) ))=2 $
$ f((e_1);(e_2))=f(( ( 1 ),( 0 ) );( ( 0 ),( 1 ) ))=-3 $
$ f((e_2);(e_1))=f(( ( 0 ),( 1 ) );( ( 1 ),( 0 ) ))=0 $
$ f((e_2);(e_2))=f(( ( 0 ),( 1 ) );( ( 0 ),( 1 ) ))=1 $
da cui la matrice
$ A=( ( 2 , -3 ),( 0 , 1 ) ) $
Ma essendo $ f $ un prodotto scalare, la matrice $ A $ non dovrebbe ...
Primo:
Sia M un punto sul segmento AB. Si costruiscano i quadrati AMCDe MBEF dalla stessa parte di AB, con F sul segmento MC.Le circonferenze ciroscritte ai due quadrati si incontrano in un secondo punto N. Dimostrare che N è l'intersezione delle rette AF e BC.
Secondo:
In un quadrato ABCD di lato 1, i punti M sul lato BC e N sul lato CD siano tali che il perimetro del triangolo MCN sia 2.
a) Calcolare l'ampiezza dell'angolo MAN
b) Se P è il piede della perpendicolare da A ad MN, trovare il ...
Ciao a tutti,
oggi non vi chiedo aiuto per la risoluzione di un esercizio ma per la spiegazione di un concetto che non riesco a capire, ovvero il "famoso" KerT e ImT.
Definizione: Siano V e W due spazi vettoriali e T un'applicazione lineare da V in W. Allora si definisce:
a) Nucelo di T e si indica con kerT l'insieme degli elementi v $in$ V tali che $T(v) = 0_w$ dove $0_w$ è l'elemento neutro di W.
b) Immagine di T, e si indica con ImT, l'insieme degli ...
io ho questa matrice qui:
$((2,-3, 0),(0,1,0),(-1,3,1))$
gli autovalori corrispondenti sono $\lambda$1=1 con molteplicità algebrica 2 e $\lambda$2=2 con molteplicità algebrica 1.
per $\lambda$1, le componenti del suo autovettore mi vengono fuori dal sistema:
$\{(x-3y=0),(0*z =0),(-x+3y=0):}$
ora, la molteplicità geometrica quanto sarebbe visto che vale $AA$z?
l'autovettore non dovrebbere essere tipo:
$((3),(1),(z))$ ??
il tutto per sapere se la matrice iniziale è diagonallizzabile ...
Salve a tutti!
Sto trovando delle difficoltà nella risoluzione di questo sistema al variare del parametro k:
2x + y + 2z + w = 0
kx + y + z - 2kw = 0
4x - ky + 4z + 2w = 0
Il primo punto dell'esercizio chiede di scrivere i valori di k per cui il rango della matrice del sistema è massimo.
In questo caso io ho risolto il determinante della matrice dei coefficienti 3x3, portando la variabile z al termine noto. In questo modo dovrei coinvolgere tutti i k della matrice. Una volta risolto questo ...
Salve ragazzi, premetto che ho effettuato alcune ricerche dove ho trovato alcune informazioni che, seppur esaurienti, non placano ogni mio dubbio a riguardo.
Ho questo esercizio e non sono certo del metodo di risoluzione da adottare:
Data la matrice A :
0 0 -2 0
-1 0 1 4
1 0 -3 -4
calcolare:
[*:25y16j8d]una base di kerA;[/*:m:25y16j8d]
[*:25y16j8d]una equazione cartesiana di ImA[/*:m:25y16j8d][/list:u:25y16j8d]
per quanto riguarda la base di kerA ho pensato di ...
salve ragazzi,
ancora una volta mi sono imbattuto in una soluzione "curiosa" svolta dal mio professore.
fissato nel piano usuale $E^$ un $ RC( O x y ) $ determinare il fuoco e la direttrice d della parabola di equazione $ x^2 - 2xy + y^2 + 8y =0 $ .
lui risolve così
sia $ax + by + c=0 $ una equazione della retta d. Allora $ x^2 - 2xy+y^2+8y+(ax+by+c)^2=0$ è una circonferenza di raggio nullo ed il suo centro è il punto $F(\alpha,\beta)$. Ne deriva
$\{(a=b=1),(c=-2),(\alpha=1), (\beta=-1):}$
oppure
...
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