Relazioni insiemistiche tra spazi vettoriali
Ciao 
, ho un altro quesito da porvi:
Ho l'esercizio
Siano dati i seguenti sottospazi vettoriali di $\mathbb{R}^4$:
$V={(x,y,z,w):x+2z=w,y-z=0} \ \ W=<(0,1,1,2),(-2,0,1,0),(-2,2,3,4)>$
Stabilire se esiste qualche relazione insiemistica tra V e W (se uno
è contenuto nell'altro)
Come faccio a stabilirlo analiticamente?
La mia idea è vedere se i vettori di $V$ sono dipendenti da quelli di $W$,
trasformo in vettori le equazioni di $W$ e ottengo:
$V=<(-2,1,1,0),(1,0,0,1)>$
se questi 2 vettori sono combinazione lineare dei vettori di $W$ allora $V\subsetW$ e viceversa se i vettori di $W$ sono combinazione lineare di $V$ allora $W\subsetV$
Se fosse così, come faccio a stabilirlo nel modo più veloce?
, ho un altro quesito da porvi:Ho l'esercizio
Siano dati i seguenti sottospazi vettoriali di $\mathbb{R}^4$:
$V={(x,y,z,w):x+2z=w,y-z=0} \ \ W=<(0,1,1,2),(-2,0,1,0),(-2,2,3,4)>$
Stabilire se esiste qualche relazione insiemistica tra V e W (se uno
è contenuto nell'altro)
Come faccio a stabilirlo analiticamente?
La mia idea è vedere se i vettori di $V$ sono dipendenti da quelli di $W$,
trasformo in vettori le equazioni di $W$ e ottengo:
$V=<(-2,1,1,0),(1,0,0,1)>$
se questi 2 vettori sono combinazione lineare dei vettori di $W$ allora $V\subsetW$ e viceversa se i vettori di $W$ sono combinazione lineare di $V$ allora $W\subsetV$
Se fosse così, come faccio a stabilirlo nel modo più veloce?
Risposte
O, come suggerisci anche te, provi a fare una combinazione lineare degli elementi di $W$ e vedere se ottieni $V$ (e viceversa), che è un metodo sicuro quanto lungo -almeno credo-, o provi a vedere le dimensioni di $W+V$ e $WnnnV$, magari ottieni qualcosa di utile (sappi però che non ho fatto i conti, non te lo assicuro): ad esempio se trovi che $dim(V+W) = 4$, essendo $dimV=2=dimW$, avresti che $VnnnW = O/$...
Io procederei in modo diretto. $W \subset V$ significa che ogni vettore di $W$ è contenuto in $V$ e per linearità è sufficiente verificare sui tre vettori generatori. Questa verifica è assolutamente elementare.
Se essa dovesse fallire, ci chiederemmo se fosse $V \subset W$. Questo è un po' più fastidioso: occorre verificare se ogni vettore di $V$ sia o meno combinazione lineare dei tre generatori di $W$. Si può fare in due modi: o si trovano generatori di $V$ o si trovano equazioni cartesiane di $W$.
Se essa dovesse fallire, ci chiederemmo se fosse $V \subset W$. Questo è un po' più fastidioso: occorre verificare se ogni vettore di $V$ sia o meno combinazione lineare dei tre generatori di $W$. Si può fare in due modi: o si trovano generatori di $V$ o si trovano equazioni cartesiane di $W$.
Per tagliare la testa al toro ho deciso di procedere come dice Mascaretti:
siccome l'esercizio richiedeva anche di calcolare $V+W$ e $V\bigcapW$ ho calcolato le dimensioni dei 2 spazi vettoriali:
$dim(V)=2$ e $dim(W)=2$
con basi $B(V)=<(-2,1,1,0),(1,0,0,1)>$ e $B(W)=<(0,1,1,2),(-2,0,1,0)>$
ma ciò non mi è utile per sapere se uno fa' parte dell'altro e viceversa, ditemi se sbaglio?
Quindi metto le basi dei 2 spazi vettoriali in un'unica matrice e ne calcolo il rango
$R(V+W)=((-2,1,0,-2),(1,0,1,0),(1,0,1,1),(0,1,2,0))=3$
Utilizzando la formula di Grassman posso ricavarmi la dimensione dello spazio $V\bigcapW$ :
$dim(V\bigcapW)=dim(V)+dim(W)-dim(V+W)=1$
Con questa informazione capisco che i due spazi vettoriali non possono essere uno dentro l'altro!
Con un bel sistema, mi calcolo quale vettore appartiene ad entrambi gli spazi vettoriali, e mi trovo:
$V\bigcapW=(0,1,1,2)$
siccome l'esercizio richiedeva anche di calcolare $V+W$ e $V\bigcapW$ ho calcolato le dimensioni dei 2 spazi vettoriali:
$dim(V)=2$ e $dim(W)=2$
con basi $B(V)=<(-2,1,1,0),(1,0,0,1)>$ e $B(W)=<(0,1,1,2),(-2,0,1,0)>$
ma ciò non mi è utile per sapere se uno fa' parte dell'altro e viceversa, ditemi se sbaglio?
Quindi metto le basi dei 2 spazi vettoriali in un'unica matrice e ne calcolo il rango
$R(V+W)=((-2,1,0,-2),(1,0,1,0),(1,0,1,1),(0,1,2,0))=3$
Utilizzando la formula di Grassman posso ricavarmi la dimensione dello spazio $V\bigcapW$ :
$dim(V\bigcapW)=dim(V)+dim(W)-dim(V+W)=1$
Con questa informazione capisco che i due spazi vettoriali non possono essere uno dentro l'altro!
Con un bel sistema, mi calcolo quale vettore appartiene ad entrambi gli spazi vettoriali, e mi trovo:
$V\bigcapW=(0,1,1,2)$
Ho un'altro esercizio del genere ma in questo caso c'è un $sen(x)$
Mi chiede di determinare per quali sottoinsiemi le inclusioni ovvie $V\subset\mathbb{R}^3$ e $W\subset\mathbb{R}^2$ inducono una struttura di sottospazio vettoriale su di essi?
Dove
$V={(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 |x-y=0,z=2x} $ e $W={(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2 | 2x_1-sin(x_2)=0}$
Non riesco a comprendere quello che mi chiede, voi avete qualche idea?
Ragionando so' che $V$ ha 1 vettore generatore: $V=<(1,1,2)>$
già questo mi dice che $V\subset\mathbb{R}^3$,
per il teorema di completamento della base so' che $B(V)=<(1,1,2),(0,1,0),(0,0,1)>$ (non so' se è utile ai fini dell'esercizio)
per quanto riguarda $W$ non saprei che dire....
Sono molto confuso riguardo alla soluzione di questo esercizio, qualche aiuto?
Mi chiede di determinare per quali sottoinsiemi le inclusioni ovvie $V\subset\mathbb{R}^3$ e $W\subset\mathbb{R}^2$ inducono una struttura di sottospazio vettoriale su di essi?
Dove
$V={(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 |x-y=0,z=2x} $ e $W={(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2 | 2x_1-sin(x_2)=0}$
Non riesco a comprendere quello che mi chiede, voi avete qualche idea?
Ragionando so' che $V$ ha 1 vettore generatore: $V=<(1,1,2)>$
già questo mi dice che $V\subset\mathbb{R}^3$,
per il teorema di completamento della base so' che $B(V)=<(1,1,2),(0,1,0),(0,0,1)>$ (non so' se è utile ai fini dell'esercizio)
per quanto riguarda $W$ non saprei che dire....
Sono molto confuso riguardo alla soluzione di questo esercizio, qualche aiuto?
Sinceramente non ho ben capito cosa intenda con "quali sottoinsiemi"...sottoinsiemi di cosa? Di $RR^3$ e $RR^2$, rispettivamente?
Quindi non saprei bene come risolvere l'esercizio...però posso dirti che $V$ definito così è un sottospazio (quindi è un sottospazio $AAv in RR^3$? sarebbe questo il sottoinsieme?), mentre direi che $W$ non è sottospazio, e ora dico perchè secondo me non lo è.
$W$ è definito come l'insieme delle $(x_1,x_2)inRR^2:2x_1-sin(x_2)=0\ =>\ W={(x_1,x_2)inRR^2:x_1=frac 1 2 sin(x_2)}$ quindi $W = {((sinx),(2x)):x inRR}$; cioè una cosa del tipo $x=frac 1 2 siny$, cioè un seno "in verticale" che varia tra $[-frac1 2;frac 1 2]$ (è la mia personale interpretazione geometrica, spero di non aver detto assurdità, non ne sono sicuro al 100%).
Vediamo se è sottospazio, controllando ad esempio se è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare: preso un vettore $winW$, esso sarà del tipo $((sin alpha),(2 alpha))$: non è sempre vero (forse non lo è mai, mi mancherebbe una cosa per dimostrarlo*) che $AAlambda in K$ campo $EE beta in RR: ((lambda sinalpha),(2lambda alpha))=((sin beta),(2beta))$, quindi (ammesso che, se non è sempre vero, ma qualche volta sì, si possa fare questa conclusione) $W$ non è sottospazio.
Non so - non credo - di aver risposto al tuo esercizio -e se l'ho fatto di certo in modo piuttosto pasticcione-, ma spero di essere d'aiuto. Fammi sapere se ci capisci di più della consegna, a me rimane un po' oscura. Chiederei a gente più esperta di me di intervenire, sono curioso dato che non ho mai visto un sottospazio definito con un seno.
*La cosa che mi serve per dimostrare che $((alpha sinx),(2alphax))!in <((sinx),(2x))>$ è che, con $alpha!=1$, $sin alpha x != alpha sinx$ eccetto gli zeri comuni, anche se la cosa mi pare diventare un po' troppo concettosa ed articolata.
Quindi non saprei bene come risolvere l'esercizio...però posso dirti che $V$ definito così è un sottospazio (quindi è un sottospazio $AAv in RR^3$? sarebbe questo il sottoinsieme?), mentre direi che $W$ non è sottospazio, e ora dico perchè secondo me non lo è.
$W$ è definito come l'insieme delle $(x_1,x_2)inRR^2:2x_1-sin(x_2)=0\ =>\ W={(x_1,x_2)inRR^2:x_1=frac 1 2 sin(x_2)}$ quindi $W = {((sinx),(2x)):x inRR}$; cioè una cosa del tipo $x=frac 1 2 siny$, cioè un seno "in verticale" che varia tra $[-frac1 2;frac 1 2]$ (è la mia personale interpretazione geometrica, spero di non aver detto assurdità, non ne sono sicuro al 100%).
Vediamo se è sottospazio, controllando ad esempio se è chiuso rispetto al prodotto per uno scalare: preso un vettore $winW$, esso sarà del tipo $((sin alpha),(2 alpha))$: non è sempre vero (forse non lo è mai, mi mancherebbe una cosa per dimostrarlo*) che $AAlambda in K$ campo $EE beta in RR: ((lambda sinalpha),(2lambda alpha))=((sin beta),(2beta))$, quindi (ammesso che, se non è sempre vero, ma qualche volta sì, si possa fare questa conclusione) $W$ non è sottospazio.
Non so - non credo - di aver risposto al tuo esercizio -e se l'ho fatto di certo in modo piuttosto pasticcione-, ma spero di essere d'aiuto. Fammi sapere se ci capisci di più della consegna, a me rimane un po' oscura. Chiederei a gente più esperta di me di intervenire, sono curioso dato che non ho mai visto un sottospazio definito con un seno.
*La cosa che mi serve per dimostrare che $((alpha sinx),(2alphax))!in <((sinx),(2x))>$ è che, con $alpha!=1$, $sin alpha x != alpha sinx$ eccetto gli zeri comuni, anche se la cosa mi pare diventare un po' troppo concettosa ed articolata.
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