Geometria e Algebra Lineare

Per calcolarmi l'inversa di una matrice c'è il procedimento che prevede di affiancare la matrice identica alla nostra matrice, e ridurre la matrice venutasi a formare, a scalini ridotta. Dall' esempio del libro vedo che ottenuta una matrice a scalini, l'ultima riga non nulla ha come ultimo elemento della riga un numero diverso da zero, e contrasta con le ipotesi dell'algoritmo. Contro le mie aspettative, il libro procede a trovare la forma a scalini ridotta determinando così l'inversa di A. ...

Salve vi volevo porre un ultimo quesito primo dell'esame imminente: Mi è data un'applicazione lineare da $ R^3 rArr R^3 $ e la seguente matrice associata: $ ( ( -6 , 4 , 0 ),( 6 , 1 , -3 ),( -42 , 18 , 6 ) ) $ Mi chiede di ricavare dalla matrice basi di immagine e nucleo e verificare la formula della dimensione Sapendo che la dimensione dell'immagine è uguale al rango della matrice associata ho trovato che dim(im)=2 da cui dim(Ker)=1 Per il nucleo ho risolto il sistema omogeneo a 3 equazioni in 3 incognite eguagliando ...

Dati i seguenti sottospazi di grado minore o uguale a 3 H=[p(x) E R3(x)| p(x)=(ax+b)(x^2+1)] K=[p(x) E R3(x)| p(x)=c(1+x^3)+dx] 1)determinare basi e dim di H e K io avrei creato uan matrice così 1010 0101 0000 rg=dim=2 e avrei preso i primi due come basi ma non credo sia giusto 2)completare la base di H ad una base di R3(x) non ho mai capito se la base che scelgo oltre ad essere lin indip deve risolvere l'eq. 3)determinare dimensione e basi per H ∩ K credo basti vedere tra le basi di ...

Buonasera a tutti! Volevo chiedere un favore... potreste controllare se questo esercizio è svolto bene? Sia $f:$ $RR^4$ $->$ $RR^4$ un'applicazione lineare tale che $f(x, y, z, t) = (x + y, x + y, 2z + sqrt2 t, sqrt2 z + t)$. Determino una base per il nucleo in questo modo: $\{( x + y = 0),(x + y = 0),(2z + sqrt2 t = 0), (sqrt2 z + t = 0):}$ quindi scrivo la matrice dei coefficienti del sistema, cioè $((1,1,0,0),(1,1,0,0),(0,0,2,sqrt2),(0,0,sqrt2, 1))$ e la riduco a scala con il metodo di Gauss, ottenendo questo $((1,1,0,0),(0,0,2,sqrt2))$ (perchè la seconda riga è ...

Sono alle prese con il Teorema di Frobenius. Vorrei capire la formulazione con i campi vettoriali e le $1$-forme. Innanzitutto, la seguente formulazione è corretta? Teorema. Sia $M$ una varietà liscia (liscia per me è $C^\infty$) e sia $TM$ il suo fibrato tangente. Sia $E$ un sottofibrato di $TM$. Allora le affermazioni seguenti sono equivalenti: - esiste una sottovarietà $N$ embedded in ...

Dato un punto P e una retta r, esiste una e una sola retta s tale che r//s. DIMOSTRAZIONE. Cominciamo con l'unicità. Siano s,s' due rette parallele a r e passanti per P. Allora si ha s//r e r//s', per cui s//s' in quanto il parallelismo è una relazione di equivalenza. Due rette parallele con un punto in comune sono coincidenti, e quindi s=s'. Esistenza. Conduciamo da P la perpendicolare a r. Individuiamo così sulla retta r il punto P'. Scegliamo un terzo punto Q su r. Tracciamo da Q un ...

Ciao a tutti, ci sarebbe gentilmente qualcuno disposto a scrivermi tutti i vari passaggi di questo esercizio? C'è sia il testo che la soluzione data dal professore, il mio problema è che non riesco a capire come sia arrivato a certe convlusioni. Grazie in anticipo!! Sia π il piano di equazione (t–1)x + 9y + tz – 10 = 0 ed r la retta passante per i punti A(–5, t2, 1) e B(0, t2, t). Determinare per quale valore del parametro reale t il piano π e la retta r non hanno punti in comune. Affinchè ...

Come si procede per risolvere un esercizio di questo genere: Sono dati i vettori di R^3 i = (1,0,0) k=(0,0,1) v=(2,-1,1) Scrivere le equazioni dell'endomorfismo $\varphi$ di R^3 per il quale risulti: $\varphi$ (i) = (0,0,0) $\varphi$(k)= (0,0,-2) $\varphi$(v)= (-4,2,-2) Determinare, inoltre, la dimensione di Ker $\varphi$ e di Im $\varphi$ (se possibile, senza fare calcoli, ma giustificando le affermazioni). Ringrazio tutti anticipatamente

Cial a tutti! Sto studiando automatica e ho qualche problema con degli autovalori. Ovvero: se ho una matrice di questo tipo $ {: ( 0 , 10/9 , -1 ),( 1 , 0, 1 ),( 0 , 0 , -2) :} $ Per calcolar gli autovalori, la prima cosa che farei è cambiare la prima riga con la second in modo da avere ha matrice triangolare... La domanda è: posso farlo? Gli autovalori rimangono così invariti?la domanda mi sorge poichè quella che ho rappresentato è una matrice simile ad un altra : $ {: ( -4/3 , -2/3 , 4/3 ),( 1/3 , 2/3, -8/3 ),( 1/3 , -1/3 , -4/3) :} $ Per informazione vi metto anche la ...

Ciao ragazzi ho bisogmo di aiuto su questo esercizio! Non sono in grado di farlo e spero ne dia uno simile! Potete aiutarmi? Vi sarei molto grato!! Vi posto il testo: Siano dati il punto $P(1,-2,0)$ e il vettore $v=[1,-1,1]$ A) determinare le equazioni parametriche della retta $r$ passante per $P$ e parallela a $v$. B) si determino le equazioni cartesiane della retta $r$. C) si determini il piano $\pi$ passante ...

data T:R3->R3 definita da T(e1)= (213) T(e2)= (0 -7 9) T(e3)= (1 4 -3) a)determinare matrice associata. non farei altro che scrivere i vettori per colonna nella matrice 2 0 1 T= 1 -7 4 3 9 -3 b) calcolare la base e dim del ker di T e di im di T ho controllato l indipendenza lineare tramite riduz a gradini di gauss e ho trovato i due pivots in corrispondenza dei due vettori presi come base di im T e l'altro, dipendente, come base del ker T base im ...

ciao a tutti sono nuovo di questa community mi chiamo giacomo e sono uno studente universitario di economia ! ho davvero bisogno di un aiuto per quanto riguardano i sistemi di matrici tra poco ho un esame e non so come fare ...come vi accennavo il mio problema riguarda la risoluzione di una matrice 3x3 tipo questa : $A = ((-2, 0, -1),( 1,1,2),(-1,2,0))$ $X = ((x),(y),(z))$ $B = ((1),(0),(-1))$ calcolare il ranko di A; risolvere il sistema A x X=B; e dire se A è simmetrica ; spero che mi diate una dritta su queste ...

Sia $RR^2$ dotato della topologia euclidea. Il gruppo $ZZ^2$ agisce su $RR^2$ tramite $(x,y) to (x+n,y+m)$ con $(x,y) in RR^2$ e $n,m in ZZ$. Sia $TT^2=RR^2$/$ZZ^2$ il toro e sia $\pi:RR^2 to TT^2$ la proiezione canonica. Sia $r_\theta$ la retta di $RR^2$ definita da $y=\theta x$, al variare di $\theta in (0,1)$ 1) Dire per quali valori di $\theta$ la funzione $\pi: r_\theta to TT^2$ è continua, suriettiva, ...

In un problema mi viene assegnata la seguente conica: $x^2+4xy+(k-1)y^2-25=0$ E mi viene chiesto di trovare le rette di cui risulta essere unione se esistono valori di $k$ per cui è riducibile. Ora, mi viene con $k=5$ riducibile (e risulta essere una parabola). Le due rette che la compongono risultano essere parallele. Non essendo ferrato sul significato di coniche degeneri, mi è venuto il dubbio che potesse essere un risultato errato. Le due rette, per l'esattezza, ...

Salve a tutti, avrei un problema con un punto del seguente esercizio: Sia f:R^4->R^4 l'endomorfismo definito da: f((x,y,z,y))=(x+y, 3x+3y, 2z-4t, -z+2t) -Determinare una base e la dimensione di Ker(f) e Im(f) -Posto U={(x,y,z,y):x+2y-z+t=0}, determinare la base e la dimensione dei sottospazi di R^4 Ker(f)∩U e Ker(f)+U. Riguardo al primo punto, credo di averlo svolto correttamente, le dimensioni di Im(f) e Ker(f) mi vengono entrambe uguali a 2. Ho costruito una base di Im(f) con i vettori [(1 ...

Salve ragazzi volevo sapere se potevate aiutarmi nella risoluzione di questo esercizio: Mi sono dati due sotto spazi affini In R3: $ E=(-x+9y-2z=0);(-x-11y+13z=0) $ il quale avendo due eq. in R3 dovrebbe essere una retta con dimE=1 $ F = ( ( 1 ),( h ),( -2 ) ) + Span ( ( 5h-1 ),( h-1 ),( h ) ) ( ( 4h-4 ),( 2h+2 ),( -h-6 ) ) $ \) Mi chiede di trovare al variare del paramentro h le varie posizioni reciproche ovvero se si intersecano o no...Innanzitutto credo che vada considerato nel sottospazio con il parametro quando questo sia una retta o un piano ma poi per trovare la dimensione ...

Buongiorno e auguri a tutti! sta mattina ho aperto il secondo libro che mi serve per prepararmi all'esame di metodi matematici della fisica e leggendo velocemente le prime pagine sono incappato in questo: prodotto scalare di due vettori complessi $\vec v$ e $\vec w$ è (v,w)=$\sum_{j=1}^N \bar v_j w_j$ mentre su un altro testo diceva che lo stesso prodotto scalare era (v|w)=$\sum_{j=1}^N v_j \bar w_j$ e lo denotava come prodotto hermitiano. Mi sorge quindi il dubbio, il prodotto hermitiano è ...

ragazzi mi serve un aiuto data la funzione f W--R^3 dove W e lo spazio generato da (0,3,1) e (1,4,1) e so che f(0,3,1)= (-1,5,2) e f(0,3,1) = (0,6,2) Come faccio ora a definire la legge della funzione ?! l'esercizio mi chiede di dimostrare che è un isomorfismo !!! ma io mi chiedo come fa a essere un isomorfismo se l'insieme di partenza e un sottospazio di R^3

Salve ragazzi sono nuovo del forum e mi scuso in anticipo per eventuali errori... devo svolgere questo ex apparentemente facile ma che mi crea problemi : Determinare la distanza dell'origine dalla retta r: $\{(x + y + z - 3 = 0),(2x + 2y - z - 9 = 0):}$ Io ho trovato il piano per l'origine perpendicolare ad r .. poi dovrei trovare l'intersezione tra il piano ed r solo che mi viene un sistema senza soluzioni aiuto vi prego

Quando devo fare la proiezione ortogonale di una retta su di un piano distinguo tre casi: 1) la retta e il piano sono paralleli 2)la retta e il piano sono ortogonali 3) caso più generale possibile Nel primo caso, si prende un punto di r e si fa la proiezione ortogonale sul piano; per fare questo, prendo una retta ortogonale al piano e quindì avente equazioni parametriche date dal vettore normale del piano e dal punto di r scelto, facendone poi l'intersezione col piano, trovandomi così H? Nel ...