Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Buonasera a tutti! Volevo chiedere un favore... potreste controllare se questo esercizio è svolto bene?
Sia $f:$ $RR^4$ $->$ $RR^4$ un'applicazione lineare tale che $f(x, y, z, t) = (x + y, x + y, 2z + sqrt2 t, sqrt2 z + t)$.
Determino una base per il nucleo in questo modo: $\{( x + y = 0),(x + y = 0),(2z + sqrt2 t = 0), (sqrt2 z + t = 0):}$ quindi scrivo la matrice dei coefficienti del sistema, cioè $((1,1,0,0),(1,1,0,0),(0,0,2,sqrt2),(0,0,sqrt2, 1))$ e la riduco a scala con il metodo di Gauss, ottenendo questo $((1,1,0,0),(0,0,2,sqrt2))$ (perchè la seconda riga è ...
Sono alle prese con il Teorema di Frobenius. Vorrei capire la formulazione con i campi vettoriali e le $1$-forme.
Innanzitutto, la seguente formulazione è corretta?
Teorema. Sia $M$ una varietà liscia (liscia per me è $C^\infty$) e sia $TM$ il suo fibrato tangente. Sia $E$ un sottofibrato di $TM$. Allora le affermazioni seguenti sono equivalenti:
- esiste una sottovarietà $N$ embedded in ...
Dato un punto P e una retta r, esiste una e una sola retta s tale che r//s.
DIMOSTRAZIONE. Cominciamo con l'unicità. Siano s,s' due rette parallele a r e passanti per P. Allora si ha s//r e r//s', per cui s//s' in quanto il parallelismo è una relazione di equivalenza. Due rette parallele con un punto in comune sono coincidenti, e quindi s=s'.
Esistenza. Conduciamo da P la perpendicolare a r. Individuiamo così sulla retta r il punto P'. Scegliamo un terzo punto Q su r.
Tracciamo da Q un ...
Ciao a tutti, ci sarebbe gentilmente qualcuno disposto a scrivermi tutti i vari passaggi di questo esercizio? C'è sia il testo che la soluzione data dal professore, il mio problema è che non riesco a capire come sia arrivato a certe convlusioni.
Grazie in anticipo!!
Sia π il piano di equazione (t–1)x + 9y + tz – 10 = 0 ed r la retta passante per i punti A(–5, t2, 1) e B(0, t2, t). Determinare per quale valore del parametro reale t il piano π e la retta r non hanno punti in comune.
Affinchè ...
Come si procede per risolvere un esercizio di questo genere:
Sono dati i vettori di R^3
i = (1,0,0) k=(0,0,1) v=(2,-1,1)
Scrivere le equazioni dell'endomorfismo $\varphi$ di R^3 per il quale risulti:
$\varphi$ (i) = (0,0,0) $\varphi$(k)= (0,0,-2) $\varphi$(v)= (-4,2,-2)
Determinare, inoltre, la dimensione di Ker $\varphi$ e di Im $\varphi$ (se possibile, senza fare calcoli, ma giustificando le affermazioni).
Ringrazio tutti anticipatamente
Cial a tutti! Sto studiando automatica e ho qualche problema con degli autovalori.
Ovvero: se ho una matrice di questo tipo
$ {: ( 0 , 10/9 , -1 ),( 1 , 0, 1 ),( 0 , 0 , -2) :} $
Per calcolar gli autovalori, la prima cosa che farei è cambiare la prima riga con la second in modo da avere ha matrice triangolare... La domanda è: posso farlo? Gli autovalori rimangono così invariti?la domanda mi sorge poichè quella che ho rappresentato è una matrice simile ad un altra :
$ {: ( -4/3 , -2/3 , 4/3 ),( 1/3 , 2/3, -8/3 ),( 1/3 , -1/3 , -4/3) :} $
Per informazione vi metto anche la ...
Ciao ragazzi ho bisogmo di aiuto su questo esercizio! Non sono in grado di farlo e spero ne dia uno simile!
Potete aiutarmi? Vi sarei molto grato!!
Vi posto il testo:
Siano dati il punto $P(1,-2,0)$ e il vettore $v=[1,-1,1]$
A) determinare le equazioni parametriche della retta $r$ passante per $P$ e parallela a $v$.
B) si determino le equazioni cartesiane della retta $r$.
C) si determini il piano $\pi$ passante ...
data T:R3->R3
definita da
T(e1)= (213)
T(e2)= (0 -7 9)
T(e3)= (1 4 -3)
a)determinare matrice associata. non farei altro che scrivere i vettori per colonna nella matrice
2 0 1
T= 1 -7 4
3 9 -3
b) calcolare la base e dim del ker di T e di im di T
ho controllato l indipendenza lineare tramite riduz a gradini di gauss e ho trovato i due pivots in corrispondenza dei due vettori presi come base di im T e l'altro, dipendente, come base del ker T
base im ...
ciao a tutti sono nuovo di questa community mi chiamo giacomo e sono uno studente universitario di economia ! ho davvero bisogno di un aiuto per quanto riguardano i sistemi di matrici tra poco ho un esame e non so come fare ...come vi accennavo il mio problema riguarda la risoluzione di una matrice 3x3 tipo questa :
$A = ((-2, 0, -1),( 1,1,2),(-1,2,0))$
$X = ((x),(y),(z))$
$B = ((1),(0),(-1))$
calcolare il ranko di A;
risolvere il sistema A x X=B;
e dire se A è simmetrica ;
spero che mi diate una dritta su queste ...
Sia $RR^2$ dotato della topologia euclidea. Il gruppo $ZZ^2$ agisce su $RR^2$ tramite $(x,y) to (x+n,y+m)$ con $(x,y) in RR^2$ e $n,m in ZZ$. Sia $TT^2=RR^2$/$ZZ^2$ il toro e sia $\pi:RR^2 to TT^2$ la proiezione canonica. Sia $r_\theta$ la retta di $RR^2$ definita da $y=\theta x$, al variare di $\theta in (0,1)$
1) Dire per quali valori di $\theta$ la funzione $\pi: r_\theta to TT^2$ è continua, suriettiva, ...
In un problema mi viene assegnata la seguente conica:
$x^2+4xy+(k-1)y^2-25=0$
E mi viene chiesto di trovare le rette di cui risulta essere unione se esistono valori di $k$ per cui è riducibile.
Ora, mi viene con $k=5$ riducibile (e risulta essere una parabola).
Le due rette che la compongono risultano essere parallele. Non essendo ferrato sul significato di coniche degeneri, mi è venuto il dubbio che potesse essere un risultato errato.
Le due rette, per l'esattezza, ...
Salve a tutti, avrei un problema con un punto del seguente esercizio:
Sia f:R^4->R^4 l'endomorfismo definito da:
f((x,y,z,y))=(x+y, 3x+3y, 2z-4t, -z+2t)
-Determinare una base e la dimensione di Ker(f) e Im(f)
-Posto U={(x,y,z,y):x+2y-z+t=0}, determinare la base e la dimensione dei sottospazi di R^4 Ker(f)∩U e Ker(f)+U.
Riguardo al primo punto, credo di averlo svolto correttamente, le dimensioni di Im(f) e Ker(f) mi vengono entrambe uguali a 2.
Ho costruito una base di Im(f) con i vettori [(1 ...
Salve ragazzi volevo sapere se potevate aiutarmi nella risoluzione di questo esercizio:
Mi sono dati due sotto spazi affini In R3:
$ E=(-x+9y-2z=0);(-x-11y+13z=0) $ il quale avendo due eq. in R3 dovrebbe essere una retta con dimE=1
$ F = ( ( 1 ),( h ),( -2 ) ) + Span ( ( 5h-1 ),( h-1 ),( h ) ) ( ( 4h-4 ),( 2h+2 ),( -h-6 ) ) $ \)
Mi chiede di trovare al variare del paramentro h le varie posizioni reciproche ovvero se si intersecano o no...Innanzitutto credo che vada considerato nel sottospazio con il parametro quando questo sia una retta o un piano ma poi per trovare la dimensione ...
Buongiorno e auguri a tutti!
sta mattina ho aperto il secondo libro che mi serve per prepararmi all'esame di metodi matematici della fisica e leggendo velocemente le prime pagine sono incappato in questo:
prodotto scalare di due vettori complessi $\vec v$ e $\vec w$ è
(v,w)=$\sum_{j=1}^N \bar v_j w_j$ mentre su un altro testo diceva che lo stesso prodotto scalare era
(v|w)=$\sum_{j=1}^N v_j \bar w_j$ e lo denotava come prodotto hermitiano.
Mi sorge quindi il dubbio, il prodotto hermitiano è ...
ragazzi mi serve un aiuto
data la funzione f W--R^3 dove W e lo spazio generato da (0,3,1) e (1,4,1)
e so che f(0,3,1)= (-1,5,2) e f(0,3,1) = (0,6,2)
Come faccio ora a definire la legge della funzione ?! l'esercizio mi chiede di dimostrare che è un isomorfismo !!! ma io mi chiedo come fa a essere un isomorfismo se l'insieme di partenza e un sottospazio di R^3
Salve ragazzi sono nuovo del forum e mi scuso in anticipo per eventuali errori... devo svolgere questo ex apparentemente facile ma che mi crea problemi :
Determinare la distanza dell'origine dalla retta r: $\{(x + y + z - 3 = 0),(2x + 2y - z - 9 = 0):}$
Io ho trovato il piano per l'origine perpendicolare ad r .. poi dovrei trovare l'intersezione tra il piano ed r solo che mi viene un sistema senza soluzioni aiuto vi prego
Quando devo fare la proiezione ortogonale di una retta su di un piano distinguo tre casi:
1) la retta e il piano sono paralleli
2)la retta e il piano sono ortogonali
3) caso più generale possibile
Nel primo caso, si prende un punto di r e si fa la proiezione ortogonale sul piano; per fare questo, prendo una retta ortogonale al piano e quindì avente equazioni parametriche date dal vettore normale del piano e dal punto di r scelto, facendone poi l'intersezione col piano, trovandomi così H?
Nel ...
Si considerino il piano e la famiglia di rette di R3 seguenti
π: 3x+y+2z+1=0
rk: (x y z)= s (3 k 2) + (0 0 1)
determinare l'intersezione tra piano e rk al variare di k appartenente ad R.
Non riesco a capire in che forma è scritta l'eq di quella presumo sia una stella di rette visto che siamo in R3 e quindi non so come costruire il sistema tra i due per determinarne l'intersezione!
per k = 1 scrivere l'equazione di una sfera con centro su rk, raggio = 1 e tangente a π
devo trovare il ...
vorrei proporvi un quesito
data la funzione f M2(R)-----M2(R)
A----------A+Atrsposta
posso esplicitare la funzione nel seguente modo f R2----R2
(x,y)---(---,---)
ciao a tutti, qualcuno di voi sa le risposte a queste domande o anche solo a qualcuna? potrebbe motivarle? grazie mille in anticipo a chiunque risponda
1)
Sia $R^n$ con il prodotto scalare standard e sia $A$ una matrice $n×n$. I vettori riga di A sono perpendicolari al $ker(A)$? Sono perpendicolari a $Im(A)$?
2)
Se $U$ e $W$ sono sottospazi di uno spazio vettoriale reale $V$ , con un prodotto ...
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