Teorema di Frobenius
Sono alle prese con il Teorema di Frobenius. Vorrei capire la formulazione con i campi vettoriali e le $1$-forme.
Innanzitutto, la seguente formulazione è corretta?
Teorema. Sia $M$ una varietà liscia (liscia per me è $C^\infty$) e sia $TM$ il suo fibrato tangente. Sia $E$ un sottofibrato di $TM$. Allora le affermazioni seguenti sono equivalenti:
- esiste una sottovarietà $N$ embedded in $M$ tale che $TN$ coincide con il pullback di $E$ attraverso l'embedding di $N$ in $M$.
- $E$ è chiuso per Lie-bracket, cioè, se $v,w$ sono sezioni di $E$ allora $[v,w]$ è una sezione di $E$.
Su wikipedia leggo che le nozioni in ballo sono tutte locali. Cosa si perde nella mia formulazione? C'è un'ipotesi non troppo restrittiva che rende valida la mia formulazione (la prima, facile, che mi viene in mente è che ci sia una sola carta coordinata, cioè che la varietà sia un aperto di $\RR^n$, che più o meno è sempre il caso con cui ho a che fare io)?
Si può trasformare questa formulazione in quella data con le forme differenziali?
Qualche fonte non troppo tecnica (vorrei capire il teorema e imparare a usarlo prima di perdermi nei dettagli)?
Innanzitutto, la seguente formulazione è corretta?
Teorema. Sia $M$ una varietà liscia (liscia per me è $C^\infty$) e sia $TM$ il suo fibrato tangente. Sia $E$ un sottofibrato di $TM$. Allora le affermazioni seguenti sono equivalenti:
- esiste una sottovarietà $N$ embedded in $M$ tale che $TN$ coincide con il pullback di $E$ attraverso l'embedding di $N$ in $M$.
- $E$ è chiuso per Lie-bracket, cioè, se $v,w$ sono sezioni di $E$ allora $[v,w]$ è una sezione di $E$.
Su wikipedia leggo che le nozioni in ballo sono tutte locali. Cosa si perde nella mia formulazione? C'è un'ipotesi non troppo restrittiva che rende valida la mia formulazione (la prima, facile, che mi viene in mente è che ci sia una sola carta coordinata, cioè che la varietà sia un aperto di $\RR^n$, che più o meno è sempre il caso con cui ho a che fare io)?
Si può trasformare questa formulazione in quella data con le forme differenziali?
Qualche fonte non troppo tecnica (vorrei capire il teorema e imparare a usarlo prima di perdermi nei dettagli)?
Risposte
Wikipedia ha ragione (per una volta)! Quella che vorresti enunziare è (all'incirca) la versione locale del teorema di Frobenius!
"Pappappero":e tutte le risposte al tuo caso puoi trovarle in Abate - Tovena Geometria Differenziale oppure in Spivak A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (Volume 1 and 2).
...Qualche fonte non troppo tecnica...
Ho visto il teorema in questione sullo Spivak. Credo di aver capito dov'è il problema con la mia formulazione. Comunque, nel caso in cui la mia $M$ è omeomorfa ad un aperto di un certo $\RR^n$ e la struttura differenziale è data da quell'unica mappa, la mia formulazione dovrebbe valere. Giusto?
Com'è la formulazione data con le forme differenziali?
Propongo in particolare un esercizio che dovrebbe risolversi utilizzando questo teorema:
Siano $(w,x,y,z)$ coordinate di $\RR^4$. Consideriamo le $1$-forme
\[ \alpha = -d w + 3 dx + \frac{1}{1+y^2} dy\]
\[ \beta = y dx -dy + e^x dz \]
Si mostri che per ogni punto $p$ di $\RR^4$ esiste una varietà $M$ di dimensione $2$ passante per $p$ e su cui i pull-back di $\alpha$ e $\beta$ sono nulli.
Com'è la formulazione data con le forme differenziali?
Propongo in particolare un esercizio che dovrebbe risolversi utilizzando questo teorema:
Siano $(w,x,y,z)$ coordinate di $\RR^4$. Consideriamo le $1$-forme
\[ \alpha = -d w + 3 dx + \frac{1}{1+y^2} dy\]
\[ \beta = y dx -dy + e^x dz \]
Si mostri che per ogni punto $p$ di $\RR^4$ esiste una varietà $M$ di dimensione $2$ passante per $p$ e su cui i pull-back di $\alpha$ e $\beta$ sono nulli.
Scusami per il telegramma, ma devo recuperare la pausa natalizia!
"Pappappero":Sì!
... Giusto?...
"Pappappero":Consulta l'Abate-Tovena!
...Com'è la formulazione data con le forme differenziali?...
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