Basi di Nucleo e Immagina e matrice associata
Salve vi volevo porre un ultimo quesito primo dell'esame imminente:
Mi è data un'applicazione lineare da $ R^3 rArr R^3 $ e la seguente matrice associata:
$ ( ( -6 , 4 , 0 ),( 6 , 1 , -3 ),( -42 , 18 , 6 ) ) $
Mi chiede di ricavare dalla matrice basi di immagine e nucleo e verificare la formula della dimensione
Sapendo che la dimensione dell'immagine è uguale al rango della matrice associata ho trovato che dim(im)=2 da cui dim(Ker)=1
Per il nucleo ho risolto il sistema omogeneo a 3 equazioni in 3 incognite eguagliando $ Ax=0 $ 0 e mi sono ritrovato come base $ ( ( 2 ),( 3 ),( 5 ) ) $
Trovo invece difficoltà nel ricavare una base dell'immagine che io credevo essere semplicemente formata da due colonne indipendenti dalle 3 della matrice...dove sbaglio?
Scusate se magari l'argomento era già stato trattato ma cercando tra i vari topics non ho ritrovato un esercizio simile a questo nello specifico
Mi è data un'applicazione lineare da $ R^3 rArr R^3 $ e la seguente matrice associata:
$ ( ( -6 , 4 , 0 ),( 6 , 1 , -3 ),( -42 , 18 , 6 ) ) $
Mi chiede di ricavare dalla matrice basi di immagine e nucleo e verificare la formula della dimensione
Sapendo che la dimensione dell'immagine è uguale al rango della matrice associata ho trovato che dim(im)=2 da cui dim(Ker)=1
Per il nucleo ho risolto il sistema omogeneo a 3 equazioni in 3 incognite eguagliando $ Ax=0 $ 0 e mi sono ritrovato come base $ ( ( 2 ),( 3 ),( 5 ) ) $
Trovo invece difficoltà nel ricavare una base dell'immagine che io credevo essere semplicemente formata da due colonne indipendenti dalle 3 della matrice...dove sbaglio?
Scusate se magari l'argomento era già stato trattato ma cercando tra i vari topics non ho ritrovato un esercizio simile a questo nello specifico
Risposte
a quali basi è associata la matrice ?
PS : la base non è costituita da vettori colonna, ricorda che sulle colonne della matrice ci sono le coordinate dei vettori della base $B$, che non hai specificato.
PS : la base non è costituita da vettori colonna, ricorda che sulle colonne della matrice ci sono le coordinate dei vettori della base $B$, che non hai specificato.
Non mi viene fornito come dato quali siano le basi in partenza e in arrivo anche perchè sennò potrei prendere quelle come base dell'immagine...
"Enter":<- falso, a meno che $A$ non descriva un isomorfismo.
perchè sennò potrei prendere quelle come base dell'immagine...
Mi potresti dire allora in quale modo te troveresti una base dell'immagine dell'applicazione proposta perchè a me non vengono proprio in mente idee 
Prova a calcolarti il rango di $A$. Così trovi la dimensione dello spazio immagine. Ad occhio mi trovo con i tuoi conti, il rango è due. Ad esempio la seconda e terza colonna sono linearmente indipendenti.. e ciò vuol dire che
$imf=<(4,1,18),(0,-3,6)>$... Ma come base andavano bene anche i vettori $(-6,6,-,42) , (4,1,18)$ ad esempio
$imf=<(4,1,18),(0,-3,6)>$... Ma come base andavano bene anche i vettori $(-6,6,-,42) , (4,1,18)$ ad esempio
Grazie per l aiuto ma un altra cosa... Non avendo nessuna particolare condizione sull immagine io potevo scegliermi una base prendendo due vettori in R3 linearmente indipendenti a piacere? Tante qualsiasi w=f(v) potrebbe essere scritto come combinazione lineare dei miei due vettori!
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