Determinare base e dimensione di kerf e Imf
Buonasera a tutti! Volevo chiedere un favore... potreste controllare se questo esercizio è svolto bene?
Sia $f:$ $RR^4$ $->$ $RR^4$ un'applicazione lineare tale che $f(x, y, z, t) = (x + y, x + y, 2z + sqrt2 t, sqrt2 z + t)$.
Determino una base per il nucleo in questo modo: $\{( x + y = 0),(x + y = 0),(2z + sqrt2 t = 0), (sqrt2 z + t = 0):}$ quindi scrivo la matrice dei coefficienti del sistema, cioè $((1,1,0,0),(1,1,0,0),(0,0,2,sqrt2),(0,0,sqrt2, 1))$ e la riduco a scala con il metodo di Gauss, ottenendo questo $((1,1,0,0),(0,0,2,sqrt2))$ (perchè la seconda riga è uguale alla prima mentre la quarta è combinazione lineare della terza). Quindi so che $dimkerf = 2$. Torno al sistema e ho $\{( x + y = 0),(2z + sqrt2 t = 0):}$ quindi posso porre $y =$ $k_1$ e $t =$ $k_2$ ottenendo: $x =$ $-k_1$ e $z =$ $-(sqrt2/2)k_2$. A questo punto, però, posso ricavarmi una rappresentazione parametrica per il nucleo di $f$, cioè {(-$k_1$, $k_1$, $-(sqrt2/2)$$k_2$, $k_2$) | $k_1$, $k_2$ $in$ $RR$} $sube$ $RR^4$; di conseguenza, assegnando a $k_1$ e $k_2$ in modo alternato i valori $0, 1$ ottengo una base per il nucleo, cioè $B_{kerf}$ $= {(-1, 1, 0, 0), (0, 0, -(sqrt2/2), 1)}$. E questo per quanto riguarda il nucleo.
Per l'immagine invece determino come agisce l'applicazione sui vettori della base canonica di $RR^4$, cioè: $f(1, 0, 0, 0) = (1, 1, 0, 0)$$,$$ f(0, 1, 0, 0) = (1, 1, 0, 0)$$,$$ f(0, 0, 1, 0) = (0, 0, 2, sqrt2)$$,$$ f(0, 0, 0, 1) = (0, 0, sqrt2, 1)$. Quindi costruisco la matrice con le immagini: $((1,1,0,0),(1,1,0,0),(0,0,2,sqrt2),(0,0,sqrt2, 1))$ e ricavo che $dimImf = 2$ e che una base può essere la seguente $B_{Imf}$ $= {(1, 1, 0, 0), (0, 0, 2, sqrt2)}$. Ora posso ottenere una rappresentazione parametrica dell'immagine nel modo seguente: $f(x, y, z, t) =$ $\alpha$$(1, 1, 0, 0) + $$\beta$$(0,0,2,sqrt2) = ($$\alpha$$,$$\alpha$$, 2$$\beta$$, sqrt2$$\beta$$)$, quindi risulta $Imf = {($$\alpha$$,$$\alpha$$, 2$$\beta$$, sqrt2$$\beta$$) $|$$$\alpha$$,$ $\beta$$in$$RR$}$$$sube$$RR^4$. Per ottenere invece la rappresentazione parametrica mi hanno insegnato a far così: $((1,1,0,0),(0,0,2,sqrt2),(x, y, z, t))$ e, riducendo la matrice con il metodo di Gauss, ottengo due equazioni $\{(y - x = 0), (t - (sqrt2/2)z = 0):}$.
I risultati da me ottenuti sono coerenti col fatto che $dim$$RR^4$$=dimkerf + dimImf$, però non so se il procedimento da me utilizzato è corretto. Inoltre, come fare per determinare una rappresentazione cartesiana del nucleo?
Sia $f:$ $RR^4$ $->$ $RR^4$ un'applicazione lineare tale che $f(x, y, z, t) = (x + y, x + y, 2z + sqrt2 t, sqrt2 z + t)$.
Determino una base per il nucleo in questo modo: $\{( x + y = 0),(x + y = 0),(2z + sqrt2 t = 0), (sqrt2 z + t = 0):}$ quindi scrivo la matrice dei coefficienti del sistema, cioè $((1,1,0,0),(1,1,0,0),(0,0,2,sqrt2),(0,0,sqrt2, 1))$ e la riduco a scala con il metodo di Gauss, ottenendo questo $((1,1,0,0),(0,0,2,sqrt2))$ (perchè la seconda riga è uguale alla prima mentre la quarta è combinazione lineare della terza). Quindi so che $dimkerf = 2$. Torno al sistema e ho $\{( x + y = 0),(2z + sqrt2 t = 0):}$ quindi posso porre $y =$ $k_1$ e $t =$ $k_2$ ottenendo: $x =$ $-k_1$ e $z =$ $-(sqrt2/2)k_2$. A questo punto, però, posso ricavarmi una rappresentazione parametrica per il nucleo di $f$, cioè {(-$k_1$, $k_1$, $-(sqrt2/2)$$k_2$, $k_2$) | $k_1$, $k_2$ $in$ $RR$} $sube$ $RR^4$; di conseguenza, assegnando a $k_1$ e $k_2$ in modo alternato i valori $0, 1$ ottengo una base per il nucleo, cioè $B_{kerf}$ $= {(-1, 1, 0, 0), (0, 0, -(sqrt2/2), 1)}$. E questo per quanto riguarda il nucleo.
Per l'immagine invece determino come agisce l'applicazione sui vettori della base canonica di $RR^4$, cioè: $f(1, 0, 0, 0) = (1, 1, 0, 0)$$,$$ f(0, 1, 0, 0) = (1, 1, 0, 0)$$,$$ f(0, 0, 1, 0) = (0, 0, 2, sqrt2)$$,$$ f(0, 0, 0, 1) = (0, 0, sqrt2, 1)$. Quindi costruisco la matrice con le immagini: $((1,1,0,0),(1,1,0,0),(0,0,2,sqrt2),(0,0,sqrt2, 1))$ e ricavo che $dimImf = 2$ e che una base può essere la seguente $B_{Imf}$ $= {(1, 1, 0, 0), (0, 0, 2, sqrt2)}$. Ora posso ottenere una rappresentazione parametrica dell'immagine nel modo seguente: $f(x, y, z, t) =$ $\alpha$$(1, 1, 0, 0) + $$\beta$$(0,0,2,sqrt2) = ($$\alpha$$,$$\alpha$$, 2$$\beta$$, sqrt2$$\beta$$)$, quindi risulta $Imf = {($$\alpha$$,$$\alpha$$, 2$$\beta$$, sqrt2$$\beta$$) $|$$$\alpha$$,$ $\beta$$in$$RR$}$$$sube$$RR^4$. Per ottenere invece la rappresentazione parametrica mi hanno insegnato a far così: $((1,1,0,0),(0,0,2,sqrt2),(x, y, z, t))$ e, riducendo la matrice con il metodo di Gauss, ottengo due equazioni $\{(y - x = 0), (t - (sqrt2/2)z = 0):}$.
I risultati da me ottenuti sono coerenti col fatto che $dim$$RR^4$$=dimkerf + dimImf$, però non so se il procedimento da me utilizzato è corretto. Inoltre, come fare per determinare una rappresentazione cartesiana del nucleo?
Risposte
se puoi correggi le formule!
quali formule scusa? le ho scritte seguendo le regole del forum... io le visualizzo correttamente... non si vedono bene?
Ad occhio tutto bene, quello che non capisco è perché tu abbia detto due volte "Mi costruisco la matrice coi coefficienti". La matrice è quella dell'applicazione, che tu la guardi per trovare il nucleo o per trovare l'immagine è sempre la stessa.
"Zkeggia":
Ad occhio tutto bene, quello che non capisco è perché tu abbia detto due volte "Mi costruisco la matrice coi coefficienti". La matrice è quella dell'applicazione, che tu la guardi per trovare il nucleo o per trovare l'immagine è sempre la stessa.
Si si è la stessa... è solo che avevo svolto le due parti separatamente... come fossero due esercizi diversi... grazie mille per avermelo fatto notare!
Un trucchetto che mi è venuto in mente. La matrice associata all'applicazione è quella che ha come colonne la f applicata ai vettori della base che hai scelto rispetto alla base.
A questo punto se riesci a vedere al volo che una colonna è multiplo di un'altra, hai già trovato un vettore del nucleo, senza fare troppi sforzi. Esempio, la tua matrice ha la prima colonna uguale alla seconda. Questo significa che $f(e_1) = f(e_2)$ ma allora $f(e_2-e_1)=0$, dunque $e_2-e_1=v in Ker f$
A questo punto se riesci a vedere al volo che una colonna è multiplo di un'altra, hai già trovato un vettore del nucleo, senza fare troppi sforzi. Esempio, la tua matrice ha la prima colonna uguale alla seconda. Questo significa che $f(e_1) = f(e_2)$ ma allora $f(e_2-e_1)=0$, dunque $e_2-e_1=v in Ker f$
"Zkeggia":
Un trucchetto che mi è venuto in mente. La matrice associata all'applicazione è quella che ha come colonne la f applicata ai vettori della base che hai scelto rispetto alla base.
A questo punto se riesci a vedere al volo che una colonna è multiplo di un'altra, hai già trovato un vettore del nucleo, senza fare troppi sforzi. Esempio, la tua matrice ha la prima colonna uguale alla seconda. Questo significa che $f(e_1) = f(e_2)$ ma allora $f(e_2-e_1)=0$, dunque $e_2-e_1=v in Ker f$
giusto! anche io conoscevo questo "trucchetto"! era per fare tutti i passaggi e sapere se era corretto... grazie mille!
prego! 
Ma a me viene che la dimensione dell'Immagine di f è 3 (e quindi quella di Kerf è 1).
Ho costruito la matrice associata, l'ho ridotta per righe e mi è venuto che ha rango 3.
Deduco quindi che Imf abbia dimensione 3. E infatti trovo un nucleo di f con base B={(1,-1,0)}.
Dove ho sbagliato?
Ho costruito la matrice associata, l'ho ridotta per righe e mi è venuto che ha rango 3.
Deduco quindi che Imf abbia dimensione 3. E infatti trovo un nucleo di f con base B={(1,-1,0)}.
Dove ho sbagliato?
"mate?":
Ma a me viene che la dimensione dell'Immagine di f è 3 (e quindi quella di Kerf è 1).
Ho costruito la matrice associata, l'ho ridotta per righe e mi è venuto che ha rango 3.
Deduco quindi che Imf abbia dimensione 3. E infatti trovo un nucleo di f con base B={(1,-1,0)}.
Dove ho sbagliato?
Scusa ma è un endomorfismo di $RR^4$ quindi un vettore della base non può essere costituito da 3 coordinate ($(1, -1, 0)$) ne deve avere quattro. Anch'io ho ridotto per righe la matrice associata e i vettori continuano comunque ad avere 4 coordinate.
La seconda riga è uguale alla prima, l'ultima riga è uguale alla penultima diviso radice di 2, come può venirti uno la dimensione del ker?
Scusate, non mi ero accorto che l'ultima riga era multipla delle terza (e ho sbagliato pure i conti 
)!
Ora mi torna tutto, grazie!
)!Ora mi torna tutto, grazie!
Scusate ma ho un problema con questo esercizio.devo calcolare la dimensione ed una base di im(f) e Ker(f).
A=(0 0 1
0 1 2
0 3 0)
il rango di A=2 quindi la dimensione di Im(f)=2 mentre Ker(f)=1
ma ora, la base di Ker è (1 0 0)?
la base di Im(f) è (0 1 3), (1 2 0) ?
A=(0 0 1
0 1 2
0 3 0)
il rango di A=2 quindi la dimensione di Im(f)=2 mentre Ker(f)=1
ma ora, la base di Ker è (1 0 0)?
la base di Im(f) è (0 1 3), (1 2 0) ?
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