Esercizio endomorfismo
Come si procede per risolvere un esercizio di questo genere:
Sono dati i vettori di R^3
i = (1,0,0) k=(0,0,1) v=(2,-1,1)
Scrivere le equazioni dell'endomorfismo $\varphi$ di R^3 per il quale risulti:
$\varphi$ (i) = (0,0,0) $\varphi$(k)= (0,0,-2) $\varphi$(v)= (-4,2,-2)
Determinare, inoltre, la dimensione di Ker $\varphi$ e di Im $\varphi$ (se possibile, senza fare calcoli, ma giustificando le affermazioni).
Ringrazio tutti anticipatamente
Sono dati i vettori di R^3
i = (1,0,0) k=(0,0,1) v=(2,-1,1)
Scrivere le equazioni dell'endomorfismo $\varphi$ di R^3 per il quale risulti:
$\varphi$ (i) = (0,0,0) $\varphi$(k)= (0,0,-2) $\varphi$(v)= (-4,2,-2)
Determinare, inoltre, la dimensione di Ker $\varphi$ e di Im $\varphi$ (se possibile, senza fare calcoli, ma giustificando le affermazioni).
Ringrazio tutti anticipatamente
Risposte
Ciao, benvenuto/a sul forum.
Provo a darti qualche indizio: per prima cosa notiamo che $(1, 0, 0),(0, 0, 1),(2, -1, 1)$ formano una base di $RR^3$ poichè se li affianchi ottieni una matrice non singolare.
A questo punto io ho fatto così: ho impostato un sistema e l'ho "risolto" rispetto a tre variabili di appoggio dette $a, b, c$:
$[[1, 0, 2, x],[0, 0, -1, y],[0, 1, 1, z]]$. Con pochi passaggi si trova ${(a=x+2y), (b=z+y), (c=-y):}$.
Riesci a continuare da qui?
PS. Non so se questo sia il metodo migliore ma è il primo che mi è venuto in mente e ti porta al risultato...
Provo a darti qualche indizio: per prima cosa notiamo che $(1, 0, 0),(0, 0, 1),(2, -1, 1)$ formano una base di $RR^3$ poichè se li affianchi ottieni una matrice non singolare.
A questo punto io ho fatto così: ho impostato un sistema e l'ho "risolto" rispetto a tre variabili di appoggio dette $a, b, c$:
$[[1, 0, 2, x],[0, 0, -1, y],[0, 1, 1, z]]$. Con pochi passaggi si trova ${(a=x+2y), (b=z+y), (c=-y):}$.
Riesci a continuare da qui?
PS. Non so se questo sia il metodo migliore ma è il primo che mi è venuto in mente e ti porta al risultato...
Ciao, grazie mille per la risposta.
Comunque fino a questo punto é tutto chiaro ma ciò che non riesco a capire é : se il rango della matrice associata é 2 come faccio a calcolare la dimensione di Ker $\varphi$ e Im $\varphi$?
Comunque fino a questo punto é tutto chiaro ma ciò che non riesco a capire é : se il rango della matrice associata é 2 come faccio a calcolare la dimensione di Ker $\varphi$ e Im $\varphi$?
Non ho capito... hai già trovato le equazioni dell'endomorfismo, cioè $f(x, y, z)=(4y, -2y, -2z)$?
Se sì per trovare la dimensione del Ker diciamo che un vettore viene mappato sul vettore nullo se ha $y=0 ^^ z=0$, quindi sarà nella forma $((x),(0),(0))$ cioè $x*((1),(0),(0))$ quindi la dimensione del Ker è...
Se sì per trovare la dimensione del Ker diciamo che un vettore viene mappato sul vettore nullo se ha $y=0 ^^ z=0$, quindi sarà nella forma $((x),(0),(0))$ cioè $x*((1),(0),(0))$ quindi la dimensione del Ker è...
Perfetto grazie! E invece l Im come lo calcolo?
Ci si deve chiedere quali vettori $((\bar x),(\bar y),(\bar z))$ rendono risolvibile il seguente sistema
${(4y=\bar x), (-2y=\bar y), (-2z=\bar z):}$ cioè quali sono i vettori che possiamo raggiungere con la nostra applicazione.
Scriviamo la matrice e otteniamo $[[0, 4, 0, \bar x], [0, -2, 0, \bar y], [0, 0, -2, \bar z]]$ dove è evidente che il rango della matrice incompleta è $2$. Imponiamo quindi che anche il rango della matrice completa sia $2$.
${(4y=\bar x), (-2y=\bar y), (-2z=\bar z):}$ cioè quali sono i vettori che possiamo raggiungere con la nostra applicazione.
Scriviamo la matrice e otteniamo $[[0, 4, 0, \bar x], [0, -2, 0, \bar y], [0, 0, -2, \bar z]]$ dove è evidente che il rango della matrice incompleta è $2$. Imponiamo quindi che anche il rango della matrice completa sia $2$.
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