Proiezione ortogonale di una retta su di un piano

[Daddarius1]

Quando devo fare la proiezione ortogonale di una retta su di un piano distinguo tre casi:
1) la retta e il piano sono paralleli
2)la retta e il piano sono ortogonali
3) caso più generale possibile

Nel primo caso, si prende un punto di r e si fa la proiezione ortogonale sul piano; per fare questo, prendo una retta ortogonale al piano e quindì avente equazioni parametriche date dal vettore normale del piano e dal punto di r scelto, facendone poi l'intersezione col piano, trovandomi così H?

Nel secondo caso bisogna fare l'intersezione di r con il piano, per trovare H, proiezione ortogonale della retta sul piano?

[Daddarius1]

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[Riccardo Desimini]

Non serve fare alcuna distinzione.

Sia \( r \) la retta da proiettare e \( \pi \) il piano su cui proiettare.

Per ogni \( P \in r \), esiste un'unica retta \( s_P \) per \( P \) che sia ortogonale a \( \pi \).
Allora, la proiezione ortogonale di \( r \) su \( \pi \) è
\[ r_{\pi} = \lbrace s_P \cap \pi : P \in r \rbrace \]
Rivediamo quanto appena scritto alla luce dei due casi particolari da te indicati.

(1) Nulla di diverso dal caso generale. Semplicemente, per ogni \( P \in r \) hai \( P \notin \pi \).
(2) Poiché \( r \perp \pi \) e \( P \in r \), risulta \( r = s_P \) per ogni \( P \), pertanto \( r_{\pi} = r \cap \pi \) si riduce a un punto.

[Daddarius1]

Chiaro.