Confusione prodotto scalare complesso
Buongiorno e auguri a tutti!
sta mattina ho aperto il secondo libro che mi serve per prepararmi all'esame di metodi matematici della fisica e leggendo velocemente le prime pagine sono incappato in questo:
prodotto scalare di due vettori complessi $\vec v$ e $\vec w$ è
(v,w)=$\sum_{j=1}^N \bar v_j w_j$ mentre su un altro testo diceva che lo stesso prodotto scalare era
(v|w)=$\sum_{j=1}^N v_j \bar w_j$ e lo denotava come prodotto hermitiano.
Mi sorge quindi il dubbio, il prodotto hermitiano è differente dal prodotto scalare di due vettori complessi? anche perchè prendendo due vettori e svolgendo le due formule viene un risultato coniugato, quindi una differenza c'è.
ho cercato un pò in giro su internet e non sono riuscito a chiarire le due notazioni.
Mi potete aiutare?
grazie a tutti
Valerio
sta mattina ho aperto il secondo libro che mi serve per prepararmi all'esame di metodi matematici della fisica e leggendo velocemente le prime pagine sono incappato in questo:
prodotto scalare di due vettori complessi $\vec v$ e $\vec w$ è
(v,w)=$\sum_{j=1}^N \bar v_j w_j$ mentre su un altro testo diceva che lo stesso prodotto scalare era
(v|w)=$\sum_{j=1}^N v_j \bar w_j$ e lo denotava come prodotto hermitiano.
Mi sorge quindi il dubbio, il prodotto hermitiano è differente dal prodotto scalare di due vettori complessi? anche perchè prendendo due vettori e svolgendo le due formule viene un risultato coniugato, quindi una differenza c'è.
ho cercato un pò in giro su internet e non sono riuscito a chiarire le due notazioni.
Mi potete aiutare?
grazie a tutti
Valerio
Risposte
Dovrebbero essere la stessa cosa. In ogni modo, solitamente la notazione è questa:
$ =\sum_{i=1}^N \bar u_i v_i$
Del resto, vale anche la seguente proprietà:
$bar()=$
Tra parentesi, ho utilizzato la notazione di Dirac.
$
Del resto, vale anche la seguente proprietà:
$bar(
Tra parentesi, ho utilizzato la notazione di Dirac.
Entrambe sono prodotti scalari hermitiani tra vettori di \(\mathbb{C}^n\), una è la definizione in voga tra i fisici e l'altra è in voga tra i matematici; se non erro la prima è da matematici e la seconda da fisici... in fin dei conti (letteralmente) le proprietà che ne conseguono sono le stesse.
"j18eos":
la prima è da matematici e la seconda da fisici...
Per la verità a me pare sia il contrario: di solito in matematica si usa una definizione come questa
\[(u, v)=\sum_{j=1}^nu_j\overline{v}_j\]
(con la linearità sul primo fattore), mentre in fisica va per la maggiore qualcosa come
\[\langle u | v \rangle=\sum_{j=1}^n u_j^\star v_j\]
(con la linearità sul secondo fattore). La stellina, in fisica, indica coniugazione complessa.
"dissonance":
... mentre in fisica va per la maggiore qualcosa come
\[\langle u | v \rangle=\sum_{j=1}^n u_j^\star v_j\]
(con la linearità sul secondo fattore). La stellina, in fisica, indica coniugazione complessa.
Confermo. Non a caso avevo menzionato la notazione di Paul Adrien Maurice Dirac, premio Nobel per la Fisica nel 1933. Per ulteriori informazioni: http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/ ... c-bio.html
grazie per le vostre risposte!
in effetti la notazione con linearità sul primo vettore l'ho trovata in Algebra lineare di keith Nicholson mentre l'altra era sul calogero. Quello che non riesco a capire, se le proprietà sono analoghe perchè svolgendo le operazioni per due generici vettori su $CC^3$ vengono fuori due risultati che sono l'uno il coniugato dell'altro?
Parto dal presupposto che non ho ancora fatto esercizi e sto studiando ora la teoria per prepararmi ad uno scritto, quindi forse dico qualche castroneria, correggetemi in tal caso, ma come faccio a capire quale notazione devo scegliere?
Ps
non ho seguito le lezioni.
in effetti la notazione con linearità sul primo vettore l'ho trovata in Algebra lineare di keith Nicholson mentre l'altra era sul calogero. Quello che non riesco a capire, se le proprietà sono analoghe perchè svolgendo le operazioni per due generici vettori su $CC^3$ vengono fuori due risultati che sono l'uno il coniugato dell'altro?
Parto dal presupposto che non ho ancora fatto esercizi e sto studiando ora la teoria per prepararmi ad uno scritto, quindi forse dico qualche castroneria, correggetemi in tal caso, ma come faccio a capire quale notazione devo scegliere?
Ps
non ho seguito le lezioni.
Il perché ti vengano risultati coniugati lo puoi capire a occhio; su quale dei due utilizzare dipende semplicemente dal prof. (io, ad esempio, sono abituato alla notazione da fisico pur essendo un matematico).
[size=150]Una piccola rapsodia fuori tema[/size]: le due notazioni le possiamo pure chiamare greca e latina, in quanto i Castiglioni-Mariotti e padre Rocci S.J. non credo che abbiano da ridire; e se pure ne avessero, non è il nome che conta, quello serve per capirsi.
Scrivo ciò in quanto al mio precedente post, in cui mi sono confuso tra i nomi, è seguito un dissenso abnorme per una sciocchezza di tale misura! Ovviamente, il tutto è a mio modesto parere.
[size=150]Una piccola rapsodia fuori tema[/size]: le due notazioni le possiamo pure chiamare greca e latina, in quanto i Castiglioni-Mariotti e padre Rocci S.J. non credo che abbiano da ridire; e se pure ne avessero, non è il nome che conta, quello serve per capirsi.
Scrivo ciò in quanto al mio precedente post, in cui mi sono confuso tra i nomi, è seguito un dissenso abnorme per una sciocchezza di tale misura! Ovviamente, il tutto è a mio modesto parere.
"j18eos":
Scrivo ciò in quanto al mio precedente post, in cui mi sono confuso tra i nomi, è seguito un dissenso abnorme per una sciocchezza di tale misura! Ovviamente, il tutto è a mio modesto parere.
Se ti stai riferendo a me, non era certamente motivo di malafede da parte mia. Del resto:
"speculor":
Dovrebbero essere la stessa cosa. In ogni modo...
Voglio dire, mi sembrava chiaro che fosse solo una questione di termini. Inoltre, avendo utilizzato la notazione di Dirac, mi sembrava giusto darne un riferimento se fosse stato necessario. Anche perchè, purtroppo, Dirac non gode della stessa fama attribuita ad altri. Ovviamente, mi sto riferendo ai non addetti ai lavori. Infine, consenti anche a me un fuori tema: auguri anticipati di buon anno.
"j18eos":
Scrivo ciò in quanto al mio precedente post, in cui mi sono confuso tra i nomi, è seguito un dissenso abnorme per una sciocchezza di tale misura! Ovviamente, il tutto è a mio modesto parere.
Beh, sei diventato permaloso adesso?
Sappiamo tutti che si tratta di una sciocchezza, siamo intervenuti per una piccola correzione e per due chiacchiere, non per crocifiggerti: 
Ciao ciao Armando! Buone Feste!
Santo Natale ragazzi, anche al ragionier Fantozzi; a cui indegnamente mi sono sentito di sostituire! 
Riprendo questa discussione perchè ho anche io una certa confusione
La mia perplessità è legata proprio alla definizione di prodotto scalare tra complessi:
[tex]\langle x,y \rangle := x_1 \bar y_1 + x_2 \bar y_2 + \dots + x_n \bar y_n = \sum_{i=1}^n x_i \bar y_i[/tex]
data dal mio testo di Analisi 1 (il Pagani-Salsa).
Perchè il vettore [tex]y[/tex] è usato in forma coniugata, o antilineare (come sembra più corretto dire) e non in forma normale, o lineare ?
Provando degli esempi stupidi con vettori in [tex]\mathbb{C}^2[/tex] il prodotto scalare nei due casi è ovviamente diverso, ma la cosa strana (per me ovviamente) è che provando lo stesso caso con Mathematica mi accorgo che questo li tratta come vettori "lineari"; ad esempio se effettuo il prodotto scalare tra i vettori:
[tex]x=(1+2i,2+3i), y=(6+i,2+2i)[/tex]
usando la definizione del Pagani-Salsa ottengo [tex]18+13i[/tex], mentre con Mathematica ottengo [tex]2+23i[/tex].
So bene che non mi posso affidare ciecamente ad un software per imparare, ma trovando delle discordanze vorrei cercare di capire cosa non ho capito
Grazie e scusate per le lungaggine.
La mia perplessità è legata proprio alla definizione di prodotto scalare tra complessi:
[tex]\langle x,y \rangle := x_1 \bar y_1 + x_2 \bar y_2 + \dots + x_n \bar y_n = \sum_{i=1}^n x_i \bar y_i[/tex]
data dal mio testo di Analisi 1 (il Pagani-Salsa).
Perchè il vettore [tex]y[/tex] è usato in forma coniugata, o antilineare (come sembra più corretto dire) e non in forma normale, o lineare ?
Provando degli esempi stupidi con vettori in [tex]\mathbb{C}^2[/tex] il prodotto scalare nei due casi è ovviamente diverso, ma la cosa strana (per me ovviamente) è che provando lo stesso caso con Mathematica mi accorgo che questo li tratta come vettori "lineari"; ad esempio se effettuo il prodotto scalare tra i vettori:
[tex]x=(1+2i,2+3i), y=(6+i,2+2i)[/tex]
usando la definizione del Pagani-Salsa ottengo [tex]18+13i[/tex], mentre con Mathematica ottengo [tex]2+23i[/tex].
So bene che non mi posso affidare ciecamente ad un software per imparare, ma trovando delle discordanze vorrei cercare di capire cosa non ho capito
Grazie e scusate per le lungaggine.
Perché se tu definissi
\[
\langle x, y \rangle = \sum_{j=1}^n x_i y_i
\]
poi dovresti definire anche
\[
\lVert x \rVert^2= \langle x, x \rangle,
\]
ma nessuno ti garantisce che \(\langle x , x \rangle\) sia reale, cosa che invece è garantita se metti un coniugato sul secondo argomento (o sul primo, a scelta).
\[
\langle x, y \rangle = \sum_{j=1}^n x_i y_i
\]
poi dovresti definire anche
\[
\lVert x \rVert^2= \langle x, x \rangle,
\]
ma nessuno ti garantisce che \(\langle x , x \rangle\) sia reale, cosa che invece è garantita se metti un coniugato sul secondo argomento (o sul primo, a scelta).
Ok adesso è chiaro. Grazie 
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