Azione sui gruppi e parametri
Sia $RR^2$ dotato della topologia euclidea. Il gruppo $ZZ^2$ agisce su $RR^2$ tramite $(x,y) to (x+n,y+m)$ con $(x,y) in RR^2$ e $n,m in ZZ$. Sia $TT^2=RR^2$/$ZZ^2$ il toro e sia $\pi:RR^2 to TT^2$ la proiezione canonica. Sia $r_\theta$ la retta di $RR^2$ definita da $y=\theta x$, al variare di $\theta in (0,1)$
1) Dire per quali valori di $\theta$ la funzione $\pi: r_\theta to TT^2$ è continua, suriettiva, iniettiva, aperta, chiusa.
2) Determinare la chiusura di $\pi(r_\theta)$ in $TT^2$ al variare di $\theta in (0,1)$
3) Sia $(RR,Z)$ la retta reale con la topologia di Zariski. Sia $f:(RR,Z) to \pi(r_\theta)$ definita tramite $f(t)=\pi((t$,$\theta t$)). Dire se f è continua, aperta o chiusa.
Questo esercizio mi pare un po' difficile per la mia portata, ma con il vostro aiuto vorrei provarci. Va bene? Vi ringrazio già da ora!!
Iniziamo con il primo punto.
Direi che $\phi:RR^2 to TT^2$ è sempre continua e suriettiva, per le proprietà della proiezione canonica. Per un altro teorema posso dire che è anche sempre aperta. Ora $\pi: r_\theta to TT^2$ è la sua restrizione, quindi continua ad essere continua e aperta (?). Ma come faccio a sapere per quali $\theta$ è suriettiva?
E poi azzarderei a dire che non è mai inettiva.
Voi cosa ne pensate al riguardo?
1) Dire per quali valori di $\theta$ la funzione $\pi: r_\theta to TT^2$ è continua, suriettiva, iniettiva, aperta, chiusa.
2) Determinare la chiusura di $\pi(r_\theta)$ in $TT^2$ al variare di $\theta in (0,1)$
3) Sia $(RR,Z)$ la retta reale con la topologia di Zariski. Sia $f:(RR,Z) to \pi(r_\theta)$ definita tramite $f(t)=\pi((t$,$\theta t$)). Dire se f è continua, aperta o chiusa.
Questo esercizio mi pare un po' difficile per la mia portata, ma con il vostro aiuto vorrei provarci. Va bene? Vi ringrazio già da ora!!
Iniziamo con il primo punto.
Direi che $\phi:RR^2 to TT^2$ è sempre continua e suriettiva, per le proprietà della proiezione canonica. Per un altro teorema posso dire che è anche sempre aperta. Ora $\pi: r_\theta to TT^2$ è la sua restrizione, quindi continua ad essere continua e aperta (?). Ma come faccio a sapere per quali $\theta$ è suriettiva?
E poi azzarderei a dire che non è mai inettiva.
Voi cosa ne pensate al riguardo?
Risposte
Niente...
?
?
Ci ho riflettuto un po' su al primo problema...Allora la continuità mi è chiara....anche l'iniettività. Mi sono bloccata però sulla suriettività....come faccio a dire che per $\theta notin QQ$ la funzione non è suriettiva?
Grazie mille
Grazie mille
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