Dimensione $Im(f)$ non capisco dove sbaglio..

[21zuclo]

Ciao a tutti, sono di fronte a questo esercizio, ma non capisco dove sia il mio errore, nel calcolo della dimensione di $Im(f)$. Aiutatemi per favore. Grazie in anticipo

Data l'applicazione lineare $f: RR^4\to RR^3$ rappresentata dalla matrice $ A=( ( 1 , 1 , 3 , 1 ),( 1 , -3 , -1 , 1 ),( 1 , -1 , 1 , 1 ) ) $
rispetto alla base $ B=\{b_1=((1),(1),(0),(3)), b_2=((1),(0),(0),(-1)),b_3=((1),(-1),(0),(-2)), b_4=((0),(1),(2),(-1))\}\in RR^4 $

e alla base $ C=\{c_1=((1),(-1),(3)), c_2=((2),(0),(1)),c_3=((1),(-2),(2))\}\in RR^3 $

Determinare $Ker f$ e $Im(f)$

ho provato a svolgere così

qui è come ho trovato il $Ker f$ però questo mi viene esatto.

per determinare il $Ker(f)$ ho usato la definizione, quindi cioè $f(v)=ul(0)$

ottenendo $ ( ( x+y+3z+t ),( x-3y-z+t ),( x-y+z+t ) )=ul(0) $

quindi $ { ( x+y+3z+t=0 ),( x-3y-z+t=0 ),( x-y+z+t=0 ):} $

riscrivendo i coefficienti in una matrice ed usando il metodo di Gauss, ho ottenuto $ ( ( 1 , 1 , 3 , 1 ),( 0 , 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $

il rango è 2, e le soluzioni sono facilmente ottenibili
$ { ( x+y+3z+t=0 ),( y+z=0 ):}\to { ( x+y-3y+t=0 ),( z=-y ):}\to { ( t=-x+2y ),( z=-y ):} $

le soluzioni del sistema sono $ S=\{((x),(y),(-y),(-x+2y)): \forall x,y\in RR\} $

dando $x=1, y=0 \to ((1),(0),(0),(-1))$ e $x=0, y=1 \to ((0),(1),(-1),(-2))$

quindi $Ker f= Span\{((1),(0),(0),(-1)), ((0),(1),(-1),(-2))\}$ e la dimensione è 2 $dim (Ker f)=2$

$ A=( ( 1 , 1 , 3 , 1 ),( 1 , -3 , -1 , 1 ),( 1 , -1 , 1 , 1 ) ) $

che è la matrice dell'applicazione lineare, usando il Metodo di Gauss ottengo $ ( ( 1 , 1 , 3 , 1 ),( 0 , 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $

che ha rango 2

il problema dell'immagine $Im f$

applico la definizione $Im(f)=Span\{((1),(1),(1)), ((1),(-3),(1)),((3),(-1),(1)),((1),(1),(1))\}$

allora ho 4 vettori in $RR^3$, ne scarto uno! Cioè l'ultimo e provo a vedere se i primi 3 sono linearmente indipendenti.

$ | ( 1 , 1 , 3 ),( 1 , -3 , -1 ),( 1 , 1 , 1 ) |=-3+3-1-(-9-1+1) =-1+9=8 \ne 0 $

SI..quindi $dim (Im (f))=3$

Ecco dove sbaglio? La soluzione mi dice che $dim (Im f)=2$

[Quinzio]

Devi fare bene i conti del determinante.

[21zuclo]

cosa c'è di sbagliato? Ho applicato la regola di Sarrus

$ | ( 1 , 1 , 3 ),( 1 , -3 , -1 ),( 1 , 1 , 1 ) | =-3+3-1-(-9-1+1)=-1+9=8 $

sinceramente non capisco quale conto sbaglio