[DIM] Rango per colonne e' rango per righe

[giuscri]

Pensavo a come dimostrare che il rango di una matrice e' unico -sia che lo si pensi come `quante colonne libere' sia che lo si veda come `quante righe libere'. La dimostrazione di cui dispongo pero' si rifa -piu' elegantemente- al teorema di Rouche'-Capelli -che per il momento non voglio usare.

Posto di seguito la dimostrazione che mi verrebbe piu' spontanea:

osservazione (quella da dimostrare): sia \(A \in \mathcal{M}_{h \times n}(\mathbb{K})\). Allora
\[\operatorname{rank}_c(A) = \operatorname{rank}_r(A)\]


Dimostrazione (poco raffinata): valga
\[\operatorname{rk}_r(M) \le \operatorname{rk}_c(M) \qquad \forall{M} \in \mathcal{M}(\mathbb{K})\]
Questo perche' se fosse
\[\operatorname{rank}_r(M) > \operatorname{rank}_c(M)\]
allora
\[\operatorname{rank}_r(M) = \operatorname{rank}_c(M^t) <
\operatorname{rank}_r(M^t) = \operatorname{rank}_c(M) < \operatorname{rank}_r(M)\]
-che e' assurdo.

D'altro canto, non puo' nemmeno essere
\[\operatorname{rank}_r(M) < \operatorname{rank}_c(M)\]
Giungerei infatti ad una nuova contraddizione:
\[\operatorname{rank}_r(M) = \operatorname{rank}_c(M^t) >
\operatorname{rank}_r(M^t) = \operatorname{rank}_c(M) > \operatorname{rank}_r(M)\]
-assurdo.

Dunque dev'essere
\[\operatorname{rank}_c(M) = \operatorname{rank}_r(M) \qquad \forall{M} \in \mathcal{M}(\mathbb{K})\]
da cui la tesi.

Come va?

Ringrazio

[Giovanni D.L.1]

Si potrebbe procedere sfruttando il teorema del rango:

Dimostrazione:

\(rk_{c}(M) = dim(Im(f_M)) = n-dim(Ker(f_M)) = rk_{r}(M) \)

Quindi si conclude: \(rk_{c}(M) = rk_{r}(M) \)

Per quanto riguarda la tua dimostrazione, supponendo che \(rk_{r} \leq rk_{c} \) si dimostra bene che non può essere \(rk_{c}>rk_{r} \) perché in contraddizione con quanto supposto. Però non mi convince la seconda parte dove dici che non può essere nemmeno \(rk_{r}

Cita

Segnala