Equazioni parametriche e cartesiane

[ZorroMorbido]

Ho questo grave problema con geometria analitica. Mi fermo completamente alle cose iniziali, il problema principale è che non riesco a cogliere il senso delle equazioni che rappresentano rette nel piano e rette e piani nello spazio.
Come faccio a scrivere le equazioni cartesiane e parametriche di una retta nel piano (e anche di rette e piani nello spazio)? Cosa diavolo è "il vettore direttore"? Cosa rappresentano i parametri nelle equazioni parametriche?
Accetto qualsiasi tipo di consiglio, grazie mille!

[Luca9712]

Mmm, le equazioni cartesiane di una retta nello spazio individuano la retta come intersezione di due piani.

Data una qualsiasi retta r nello spazio $R^3$, è possibile descrivere la retta mediante un sistema di equazioni cartesiane, ed in particolare mediante un sistema di due equazioni.
In generale, le equazioni cartesiane di una retta nello spazio sono della forma

$(1)$ \begin{cases}ax+by+cz+d=0\\ a'x+b'y+c'z+d'=0\end{cases}


Vediamo il perchè. Ciascuna delle equazioni


$ax+by+cz+d=0$

$a'x+b'y+c'z+d'=0$

è l'equazione cartesiana di un piano nello spazio. Mettendole a sistema si cercano le terne $(x,y,z)$ di punti che le soddisfano entrambe, cioè i punti della retta $r$. In parole povere, le equazioni cartesiane di una retta nello spazio individuano la retta come intersezione di due piani.

Tuttavia non sempre comunque si prendono due piani, e dunque due equazioni cartesiane come le precedenti, il loro sistema rappresenta sempre e comunque una retta .
Per far sì che il luogo delle soluzioni $(1)$ sia una retta dobbiamo richiedere che le due equazioni siano linearmente dipendenti. Se così non fosse, e dunque se avessimo due equazioni linearmente dipendenti


$\exists k\in\mathbb{R} \mbox{ tale che }a=k a'\ ;\ b=kb'\ ; \ c=kc'\ ; \ d=kd'$


ci troveremmo di fronte a due piani paralleli $(k‡1)$ oppure coincidenti $(k=1)$, e in entrambi i casi l'intersezione dei due piani sarebbe vuota.

In definitiva la rappresentazione cartesiana di una retta nello spazio è


\begin{cases}ax+by+cz+d=0\\ a'x+b'y+c'z+d'=0\end{cases}

con $(ax+by+cz+d)\neq k(a'x+b'y+c'z+d')$ per ogni $k\in\mathbb{R}$, ipotesi d'indipendenza lineare delle due equazioni.



Esempi



1) Il sistema \begin{cases}2x+4y-5=0\\ 3y-2z+6=0\end{cases} individua una retta nello spazio.



2) Il sistema \begin{cases}x+y+z+1=0\\ -3x-3y-3z-3=0\end{cases} non rappresenta una retta, infatti la seconda equazione dipende linearmente dalla prima (è sufficiente moltiplicare la prima equazione per $(-3)$ per ricavarla).