Inversa di una matrice
Salve ragazzi, buon sabato a tutti 
ho dei dubbi riguardo quest'esercizio e vorrei cercare di chiarirli grazie al vostro aiuto.
L'esercizio enuncia:
Si consideri la seguente matrice dipendente dal parametro $ lambda in $ R:
$ ( ( 1 , 2 , 3 ),( 1 , lambda , 1 ),( 3 , 2 , 1 ) ) $
a) dire per quali valori di $ lambda $ la matrice è invertibile
b) per un valore di $ lambda $ scelto a piacere, determinare l'inversa della matrice.
Procedimento:
per quanto riguarda il punto a) per determinare i valori di $ lambda $ per cui la matrice è invertibile mi sono calcolata il determinante con Sarrus e mi esce che il determinante è uguale a -8 $ lambda $ +8 semplificando mi esce che
$ lambda $ = 1
a questo punto ho detto che la matrice è invertibile se $ lambda $ è $ != $ 1
perchè noi sappiamo che una matrice è invertibile se e solo se il determinante è diverso da zero. Sostituendo 1 al posto di $ lambda $ ho notato che il determinante era uguale a zero, di conseguenza ho dedotto che per avere l'inversa $ lambda $ doveva essere $ != $ 1
Mi blocco al punto b)
inizialmente ho proceduto trovando l'aggiunta della matrice senza eliminare il $ lambda $
poi ho parlato con una mia compagna di università che mi ha confuso le idee.
In pratica lei mette un $ lambda $ a piacere che sia diversa da 1 e si calcola l'aggiunta è l'inversa.
Come si deve realmente fare? grazie per l'aiuto e la pazienza ragazzi
ho dei dubbi riguardo quest'esercizio e vorrei cercare di chiarirli grazie al vostro aiuto.
L'esercizio enuncia:
Si consideri la seguente matrice dipendente dal parametro $ lambda in $ R:
$ ( ( 1 , 2 , 3 ),( 1 , lambda , 1 ),( 3 , 2 , 1 ) ) $
a) dire per quali valori di $ lambda $ la matrice è invertibile
b) per un valore di $ lambda $ scelto a piacere, determinare l'inversa della matrice.
Procedimento:
per quanto riguarda il punto a) per determinare i valori di $ lambda $ per cui la matrice è invertibile mi sono calcolata il determinante con Sarrus e mi esce che il determinante è uguale a -8 $ lambda $ +8 semplificando mi esce che
$ lambda $ = 1
a questo punto ho detto che la matrice è invertibile se $ lambda $ è $ != $ 1
perchè noi sappiamo che una matrice è invertibile se e solo se il determinante è diverso da zero. Sostituendo 1 al posto di $ lambda $ ho notato che il determinante era uguale a zero, di conseguenza ho dedotto che per avere l'inversa $ lambda $ doveva essere $ != $ 1
Mi blocco al punto b)
inizialmente ho proceduto trovando l'aggiunta della matrice senza eliminare il $ lambda $
poi ho parlato con una mia compagna di università che mi ha confuso le idee.
In pratica lei mette un $ lambda $ a piacere che sia diversa da 1 e si calcola l'aggiunta è l'inversa.
Come si deve realmente fare? grazie per l'aiuto e la pazienza ragazzi
Risposte
Grazie mille per la risposta rapida =) è tutto chiarissimo, in effetti con Gauss Jordan si impiega un po' più di tempo 
vorrei sapere però se si può fare anche in quest'altro modo, così decido sul momento quale metodo adottare a seconda del tempo a disposizione.
Procedimento:
una volta calcolato il determinante |A|= -8 $ lambda $ + 8 e quindi $ lambda $ =1 sappiamo che la matrice è invertibile per $ lambda $ $ != $ 1
adesso vorrei calcolarmi l'inversa usando la formula:
$ (1)/(|A|) $ $ \cdot $ $ {::}_(\ \ )^(t) text() $ (A*)
Mi calcolo la matrice aggiunta attribuendogli un valore $ lambda =2 $
A* = $ ( ( 0 , 2 , -4 ),( 4 , -8 , 4 ),( -4 , 2 , 0 ) ) $
a questo punto mi calcolo il determinante con $ lambda =2 $ e mi esce che |A|= -8
$ A{::}_(\ \ )^(-1) text $ = $ 1/-8 * ( ( 0 , 4 , -4),( 2 , -8 , 2 ),( -4 , 4 , 0 ) ) $
ma non mi trovo con il risultato della tua matrice =/ in cosa sbaglio?
vorrei sapere però se si può fare anche in quest'altro modo, così decido sul momento quale metodo adottare a seconda del tempo a disposizione.
Procedimento:
una volta calcolato il determinante |A|= -8 $ lambda $ + 8 e quindi $ lambda $ =1 sappiamo che la matrice è invertibile per $ lambda $ $ != $ 1
adesso vorrei calcolarmi l'inversa usando la formula:
$ (1)/(|A|) $ $ \cdot $ $ {::}_(\ \ )^(t) text() $ (A*)
Mi calcolo la matrice aggiunta attribuendogli un valore $ lambda =2 $
A* = $ ( ( 0 , 2 , -4 ),( 4 , -8 , 4 ),( -4 , 2 , 0 ) ) $
a questo punto mi calcolo il determinante con $ lambda =2 $ e mi esce che |A|= -8
$ A{::}_(\ \ )^(-1) text $ = $ 1/-8 * ( ( 0 , 4 , -4),( 2 , -8 , 2 ),( -4 , 4 , 0 ) ) $
ma non mi trovo con il risultato della tua matrice =/ in cosa sbaglio?
Gentilissimo 
sono d'accordo con te, il metodo di Gass Jordan è senza dubbio più indicato per un esame, ma per sicurezza meglio conoscere entrambi i metodi, così se il primo esercizio mi impiega troppo tempo mi butto su quello che mi risulta più facile e rapido
Ti ringrazio ancora
sono d'accordo con te, il metodo di Gass Jordan è senza dubbio più indicato per un esame, ma per sicurezza meglio conoscere entrambi i metodi, così se il primo esercizio mi impiega troppo tempo mi butto su quello che mi risulta più facile e rapido
Ti ringrazio ancora
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