Dimensione e base per un sottospazio di polinomi?!?

[Niks891]

salve a tutti, è un po' che combatto con questo esercizio:
Considerare i sottospazi seguenti dello spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o
uguale a tre:
H={p(x) ∈ R3 [x] | p(x)= (ax + b)(x^2 + 1), a,b ∈ R }
k={p(x) ∈ R3 [x] | p(x)= α(1 + x^3)+ βx, a,b ∈ R }
(a) Determinare dimensione e base per H e K:
(b) Completare la base trovare per H ad una base di R3[x]:
(c) Determinare dimensione e base di H ∩ K:

come devo iniziare?! svolgo il polinomio di terzo grado?! vorrei delle linee guida per il punto a soprattutto perchè è iniziare il mio problema... per gli altri 2 punti ci potrei arrivare credo ... grazie a tutti

[Camillo]

I polinomi di grado $<=3 $ ,cioè $R_3[x]$ hanno dimensione =4 ; infatti sono rappresentabili come $p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3$ con 4 variabili libere.OK?
Qual è la dimensione di H ? svolgendo i conti si arriva a $p(x)= ax^3+bx^2+ax+b $ con due variabili libere $(a,b)$ quindi Dim H = 2.
Continua tu....

[Niks891]

ok fino alle variabili libere c'ero arrivato... e per la base? devo risolvere il polinomio di terzo grado? ho varie lacune, come faccio?! ps: ti ringrazio Camillo per la disponibilità!

[Plepp]

@Niks: qual'è la definizione di base?

[Niks891]

quindi una base sarebbe (1,0,0,0) (0,1,0,0) ?

[Kashaman]

No, sono oggetti differenti. Hint :$p(x)=ax^3+bx^2+ax+b =a (x^3+x)+b(x^2+1)$......... $p(x)$ è un generico vettore di $H$... hai visto che puoi esser rappresentato mediante due vettori linearmente indipendenti.. pertanto..?

[Plepp]

No. Una base è costituita da elementi di $V$, in questo caso da polinomi di $RR_3[x]$.

[Niks891]

quali sarebbero per esempio questi polinomi che formerebbero una base? (scusate ma dopo un pomeriggio di studio mi anniento)

[Niks891]

scusate ragazzi io ancora non ho capito, potete rispiegarmelo tutto insieme?!?!