[G.A.] Posizione reciproca tra rette, delucidazioni

[GYX2]

Salve a tutti
Avrei un problema da proporvi:

Studiare la posizione reciproca al variare del parametro reale $a$ delle rette:

$r:{(x+az+1=0),(x-y+z+a=0):}$

$s:{(x=-3+3t),(y=2t),(z=-3-t):}$

SVOLGIMENTO

Scrivo $r$ in forma parametrica, per estrapolare il vettore direzionale:

$r:{(x=t),(y=((a^2-1)/a)+((a-1)/a)t),(z=-1/a-(1/a)t):}$

Quindi avrò i due vettori direzionali:

$v_r=(1,(a-1)/a,-1/a)$
$v_s=(3,2,-1)$

Studiando la relazione $v_r=gammav_s$, controllo il parallelismo:

${(3gamma=1),(2gamma=(a-1)/a),(gamma=1/a):}$

Dal quale ricavo:

${(gamma=1/3),(gamma=(a-1)/2a),(gamma=1/a):}$

Quindi per $a=3$ le rette sono parallele.

Studiando la relazione $(v_r|v_s)=0$, controllo l'ortogonalità:

$3+2-2/a+1/a=0$, soddisfatta per $a=1/5$. Quindi per tale valore di $a$ le rette sono ortogonali.

Sostituendo ora le equazioni parametriche della $s$ nella funzione cartesiana della $r$, controllo l'incidenza:

${((-3+3t)+a(-3-t)+1=0),((-3+3t)-(2t)+(-3-t)+a=0):}$

Ecco, qui mi sorge un dubbio: dalla seconda equazione $(-3+3t)-(2t)+(-3-t)+a=0$ la $t$ si semplifica, trovando $a=6$. È questo un valore di $a$ per cui sono incidenti? Vorrei, inoltre, maggiori delucidazioni sulla risoluzione di questo sistema di due equazioni in due incognite. Se ho ben capito: se ha due soluzioni, le rette sono incidenti (quindi complanari), se non ne ha sono sghembe. È giusto?

Grazie per le vostre "future" risposte

[DonkeyShot93]

Per il parallelismo hai visto per quali a le rette hanno giaciture proprozionali e fin qui è giusto. Perfetta anche l' ortogonalità.
Per l' incidenza ti basta usare il criterio di complanarità. Tu hai visto per quali valori di $a$ le rette si incontrano. Potevi anche usare il criterio di complanarità e da lì ricavarti la $a$ per le quali erano parallele e quella per le quali erano incidenti tutto in una volta, per tu suai che due rette sono complanari se sono parallele o se sono incidenti. Insomma ci sono vari modi...

[GYX2]

giusto, il ragionamento fila e non mi aveva sfiorato minimamente.. provo e ti dico
e grazie per la risposta

[GYX2]

Salve, penso di aver concluso.

Per applicare il criterio della complanarità, mi occorrono le equazioni ridotte delle rette $r$ ed $s$. Di quest'ultima, già l'abbiamo:

$s:{(x=3/2y-3),(z=-1/2y-3):}$

Per r la ricaviamo (in funzione di $y$ come la $s$), e si ottiene:

$r:{(x=a/(a-1)y-1-a),(z=1/(1-a)y+1):}$

A questo punto si studiano gli zeri del determinante:

$| ( (a/(a-1))-(3/2) , (1/(1-a))-(-1/2) ),( (-1-a)-(-3) , (1)-(-3) ) |=0$

Che corrispondono ad $a_1=3$, caso di parallelismo già prima trovato, e $a_2=6$, valore per cui le rette sono incidenti.

Va bene come procedimento? Ci sono metodi più veloci, tipo integrare vettori direzionali (per parallelismo ed ortogonalità) e studio della matrice completa (per l'incidenza)?

Ancora grazie per il tuo tempo speso per aiutarmi