Proprietà parabola

[fab_mar9093]

Cari matematici (e non),
chi mi sa dare una semplice dmostrazione del fatto che:
data una parabola e due sue tangenti (una su un ramo, una sull'altro),
la distanza (misurata lungo le ascisse) tra il punto di intersezione delle due tangenti
e il punto di tangenza è la stessa che si consideri una o l'altra tangente.
Nello sviluppo di un metodo
viene usata questa proprietà senza esplicitarla;
ho verificato con i calcoli, ma la proprietà a me non sembrava scontata!
Fesso io?

[gugo82]

Questa cosa si può dimostrare in millemila modi.

Detta meglio, si dimostra che se \(A=(x_A,y_A)\) e \(C=(x_C,y_C)\) sono due punti distinti su una parabola avente asse parallela all'asse delle ordinate, le tangenti alla parabola in tali punti si intersecano nel punto di ascissa \(\frac{1}{2}(x_A+x_C)\).
Ad esempio, ciò si può dimostrare usando il Calcolo Differenziale per scrivere esplicitamente le equazioni delle rette tangenti.

[fab_mar9093]

Grazie,
anche io l'ho verificata come hai fatto al primo punto.
Però, quello che mi chiedevo (e con questo dicevo "Fesso io?")
è perchè nel metodo questa proprietà non fosse stata esplicitata,
come se fosse scontata. Ok, non è difficile da dimostrare.
Però la sempricità del metodo deriva anche da questa proprietà.
Se avessero scritto:
"Data la proprietà della parabola di ..... l'algoritmo è rapido etc... e dunque si sceglie questa via quando..."
(Il quando c'è scritto)
a me avrebbe molto più interessato studiare l'argomento.
Avrei capito anche subito perché si facesse così.
Invece, quello che vedo sempre nei testi di ingegneria, nelle dispense,
è una totale assenza di queste frasi che a me stuzzicherebbero molto di più l'interesse.
E invece sembra tutto un elenco, senza un perchè.
Dico, sbaglio io? cioè non sono una macchina, io ho un modo di apprendere diverso,
in un certo senso più comunicativo.
Qualcuno mi capisce?

[Sk_Anonymous]

Secondo me la proprietà è vera solo se una delle tangenti indicate nel testo è la tangente alla parabola nel suo vertice V ( vedi fig. allegata). Se è così allora è possibile una soluzione sintetica. La polare di P è la retta p=VT di cui sia $Z_{infty}$ il punto improprio ( all'infinito). Poiché $Z_{infty}$ appartiene alla polare p di P, allora la polare di $Z_{infty}$ passa per P. Ma la polare di un punto improprio è un diametro della parabola e quindi, come tale passa, per il centro della parabola ovvero per $Y_{infty}$, punto improprio dell'asse y. In altre parole la polare di $Z_{infty}$ è la retta per P parallela all'asse y. Tale polare intersechi VT in M. Adesso consideriamo la retta $Z_{infty}V$, cioè la retta VT : per una nota proprietà delle coniche la coppia V,T è separata armonicamente dalla coppia $M,Z_{infty}$ e poiché $Z_{infty}$ è un punto improprio, segue che M è il punto medio di VT. Pertanto, essendo MP parallelo a BT, ne risulta che P è punto medio di VB. C.V.D.