Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao, non riesco a capire come risolvere il seguente esercizio (riporto il testo pari pari):
"Sia $ P(x) ∈ R[x] $ il polinomio caratteristico di un endomorfismo $f : R3 → R3$ di $R3$. Sapendo che f
non è un isomorfismo, e che $2 + i$ è una soluzione dell’equazione $P(x) = 0$, si determini $P(x)$ e si
dica se f è diagonalizzabile su $R$."
Ho pensato che se $2+i$ è soluzione allora è autovalore. Non ho idea di come procedere ...
In un compito d'esame di Geometria 2 mi sono imbattuta in questo esercizio che non so come risolvere, qualcuno può aiutarmi?
Buongiorno a tutti,
so bene che quanto sto per chiedere è già stato chiesto milioni di volte su questo forum ed è altresì reperibile in rete o su qualunque libro, ma mi perdonerete se davvero non riesco a capirlo ed ho bisogno di una spiegazione personalizzata.
Sto cercando di fare l'esercizio di due di questo:
http://www.dmi.unict.it/~frusso/DMI/Hom ... ineari.pdf
Arrivo a studiare il determinante.
E mi ritrovo che nel caso di h=1, ho la matrice $ ( ( 1 , 0 , -1 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
e fin qui ci sono.
Ora mi chiede di trovare le basi ...
Allora, ho una generica matrice di rotazione nel piano euclideo:
$((1,0,0),(a, cos\alpha, -sin\alpha),(b,sin\alpha, cos\alpha))$
Mi viene chiesto di scrivere le coordinate del centro di rotazione in funzione di \(\displaystyle a \), \(\displaystyle b \) e \(\displaystyle \alpha \) e discutere il caso in cui \(\displaystyle \alpha \) tende a zero.
Ometto i conti perché sono abbastanza tediosi... Ma se son giusti, mi viene che quando alpha tende a 0, il centro di rotazione va all'infinito...Possibile?
Sto cercando di figurarmi la ...
Ciao a tutti!
Ho un problema che riguarda l'uso furbo delle matrici compagne.
Data un'applicazione lineare, mettiamo \(\displaystyle \phi: V \rightarrow V\) con \(\displaystyle dimV=n \) , so che esiste un vettore \(\displaystyle w \) tale che \(\displaystyle (w, \phi(w), \phi^2(w),...,\phi^{n-1}(w)) \) forma una base di \(\displaystyle V \)
Ora, vorrei dimostrare non solo che la matrice di \(\displaystyle \phi \) è simile alla matrice compagna del suo polinomio caratteristico (o minimo, ...
Ragazzi, avrei bisogno di una mano per il calcolo dell'immagine e del nucleo di una applicazione lineare.
$f (x, y, z) $ $=$ $(x - y, x - y + z)$
La matrice associata a questo sistema è:
$((1,-1,0),(1,-1,1))$
Ho calcolato Ker(f) risolvendo il sistema lineare omogeneo associato:
$\{(x - y = 0),(x - y + z = 0):}$
E mi risulta $Ker(f) = {(y, y, 0) | y(1, 1, 0) y in RR}$
Quindi $L (1, 1, 0)$ e $dim Ker(f) = 1$
L'applicazione non risulta iniettiva in quanto il nucleo è diverso da zero.
Ora, per il calcolo dell'immagine ...
Salve a tutti,
so che sarà un esercizio che sarà stato ripetuto + e + volte.... Però sto diventando davvero matto...
Sia L : R2[t] → R2[t] l’endomorfismo dello spazio vettoriale R2[t]
dei polinomi di grado ≤ 2 definito da:
L(a+bt+ct2) = (a+3c)+(-a+2b-c)t+(3a+c)t2
Determinare:
a) la matrice A associata ad L rispetto alla base canonica,
b) gli autovalori di L e una base per ogni autospazio.
Quindi dovrei avere come matrice A
$ ( ( 1 , 0 , 3 ),( -1 , 2 , -1 ),( 3 , 0 , -1 ) ) $
Giusto ?
Ora, (se non creo troppo disturbo), ...
Salve a tutti,
Come faccio a dimostrare che due matrici, non diagonalizzabili, sono simili?
Ad esempio
$ A=( ( 1 , 2 , 3 ),( 0 , 1 , 4 ),( 0 , 0 , 5 ) ) $
$ B=( ( 1 , 4 , 0 ),( 0 , 5 , 0 ),( 2 , 3 , 1 ) ) $
Dopo aver verificato che la condizione necessaria (avere lo stesso polinomio caratteristico) è soddisfatta come devo procedere? Come utilizzo la definizione?
Grazie!
Ciao, sono alle prese con questo esercizio:
$ (z+1)^5=3 $
con z appartenente al campo dei complessi.
Io ho pensato di porre $(z+1)=t$ e quindi trovare le radici quinte di 3, cioè risolvere $t=3^(1/5)$.
Quest'ultime dovrebbero essere $t'=3^(1/5)*(cos(2*k*pi/5)+i*sin(2*k*pi/5))$ con $k=0,1,2,3,4$ (quindi ho cinque radici). A questo punto ho posto le cinque soluzioni $t'= (z+1)$ e quindi semplicemente ho trovato come soluzioni finali $z = t' -1$.
È corretto? Non ne sono sicuro ...
Ragazzi, avrei bisogno di delucidazioni riguardo un esercizio sui sottospazi vettoriali.
Devo calcolare se il seguente sottoinsieme è un sottospazio:
$V = { ( x, y ) in (RR)^2 } = { ( (x - y)^2 = 0 )$
Ora, il vettore nullo e` ammesso in quanto $(0, 0)$ rispetta l`equazione lineare $(x - y)^2 = 0$.
Ma poi non so il motivo per cui non mi trovo con il risultato.
Ovvero..
Calcolando l`equazione lineare trovo che $x = y$, quindi c`e` un unico vettore (y, y) e quindi la dimensione e` 1 e la base e` (1, ...
Salve a tutti.
Pur avendo visto e rivisto la teoria non riesco a svolgere questi due esercizi.
Speravo che qualcuno potesse darmi dei chiarimenti anche senza alcun calcolo.
Ex.1
Data la super ficie S rappresentata parametricamente da
x = uv; y = 1 + 3u; z = v3 + 2u
determinare il versore normale in ogni punto.
Ex.2
3. Data S : (x; y; z) = (3u; u2 + v; 2v) studiarne le curve coordinate nel punto P(6; 4; 0).
Riguardo al primo esercizio avevo ...
Salve a tutti
Sto avendo qualche problemuccio nel comprendere la seconda parte della dimostrazione del seguente Teorema:
L'insieme $ S_0 $ delle soluzioni del sistema lineare omogeneo $ AX=0 $ a $n$ equazioni ed $n$ incognite è un sottospazio vettoriale di $ K^n $ e si ha che: $ dimS_0=n-ρ(A) $
Fino al dimostrare che $ S_0 $ è sottospazio di $ K^n $ ci sto. Il problema lo incontro nel far mio il ragionamento per ...
Insorge un dubbio.
Io so che la somma delle dimensioni di tutti gli Autospazi ammessi nel dominio ( Spazio Vettoriale ) di una qualsivoglia funzione è uguale alla dimensione del dominio stesso se l'endomorfismo è diagonalizzabile.
- la condizione di sopra è sufficiente o anche necessaria ? Cioè, immaginiamo che ho una funzione da R^3 in R^3 ( endomorfismo ) in cui l'asse delle x è il mio autospazio di dimensione 1 e poi ho un altro autospazio che è un piano, ma non yz, bensì un altro piano ...
Esempio.... Ho T: $ R^3$ -> $ R^3 $ l'applicazione lineare la cui matrice associata rispetto alla base canonica è
A= $((1,1,3),(-1,0,4),(3,2,2))$
scrivere esplicitamente l'applicazione lineare.... come?!
Salve ragazzi,
spero possiate aiutarmi sulle trasformazioni lineari. Sono alle prese con esercizi di questo tipo:
Determinare la trasformazione lineare di IR2 in IR2 di riflessione rispetto
alla retta x-4y-1 = 0 e applicarla al triangolo di vertici A = (1, 0), B = (3, 0) e C = (2,-4).
So come fare la riflessione ma non capisco come arrivare ad applicarla al triangolo.
E poi se dovessi fare lo stesso esercizio ma avendo una retta che passa per l'origine sarebbe la stessa cosa?
Grazie mille ...
Salve,
ho questa funzione $f(x,y,z) = x^2 - xy - z^2 + y^3$ e devo trovarne il massimo il minimo e i punti di sella.
il primo step è trovare il gradiente e dove questo si annula :
- $f'_x = 2x-y$;
- $f'_y = -x + 3y^2$
- $f'_z = 2z$
i punti sono :
$\{ x = 0),(y = 0),(z = 0):}$ -----> dai risultati è un punto di sella
$\{ x = 1/12),(y = 1/6),(z = 0):}$ -----> dai risultati è un punto di minimo
adesso come si prosegue? so che dovrei calcolare le derivate seconde ma come si fa? poi posso applicare la matrice hessiana?
Ciao a tutti , vorrei un chiarimento su un esercizio su cui ho dei dubbi. scusate in anticipo se non uso le formule sono nuovo ed è il mio primo post.
testo : data A matrice appartenente ad R(4) e dato f(x) appartenente a End (R(4)) , sia f(A) = A (trasp) - A , determinare dimensione Immagine e nucleo di f(a).
l'idea di base che ho avuto è stata svolgere la funzione con una generica matrice, ricavarmi il ker e dal teorema
dim V = dim Im + dim ker ricavarmi il resto.
ho proceduto svolgendo ...
Salve avrei bisogno di una mano su qualche punto di questo esercizio che ho trovato all'esame di geometria...
Sia $F: R^3->R^3$ l'endomorfismo con matrice associata rispetto alla base canonica : $ ( (1,0,2) , (-1,-1,-3) , (1,2,1) ) $
Determinare $MB(F)$ dove $B={(3,1,1)1(0,-1,1),(2,1,1)}$. Stabilire se $F$ è diagonalizzabile. Determinare due basi di $R^3$ contenenti ognuna un autovettore e contenenti autovettori distinti.
Allora per quanto riguarda la matrice associata procedo nel ...
dati i seguenti insiemi:
$U1={a+bx+cx2+dx3inR3[x]t.c.a+c−b=0,a+d−c=0}$
$U2={p(x)inR3[x]t.c.p(3)=p(−3)}$
Verificare che siano sottospazi vettorili, determinare inoltre una base di U1 e una base di $U2$. Completare la base di $U1$ e la base di $U2$ a base di $R3[x]$. Determinare $U1 ∩ U2$ e $U1+U2$. Determinare un sottospazio supplementare di $U1 ∩ U2$.
Questo è un esercizio che ho trovate all'ultimo esame di geometria e non sono riuscito a risolverlo. Spero ...
Come si trova il piano generato da due vettori?
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