Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti, studiando un pò di algebra mi sono imbattuto alla seguente definizione di sottospazio invariante:
Si dice che un sotto spazio H di G è invariante rispetto ad un operatore T che ha come supporto G se ogni elemento di H viene trasformato da T in un altro elemento di H.
Avrei un dubbio a riguardo: se H ha una dimensione inferiore rispetto alla dimensione di G (essendo un suo sottospazio), come può l'operatore T (che ha come spazio base G) agire sull'elemento di H?
Cioè ammettendo ...
Ciao ragazzi, vorrei chiedervi informazioni riguardo alle rappresentazioni di gruppi/algebre di Lie su spazi vettoriali infinito-dimensionali. La mia situazione è questa: ho seguito un corso di metodi matematici per la fisica riguardante gruppi e algebre di Lie, come preparazione per un corso di teoria quantistica dei campi, ma abbiamo sempre studiato rappresentazioni su spazi vettoriali di dimensione finita (il riferimento principale era il Cornwell). D'altra parte le rappresentazioni ...
Buongiorno a tutti, sto cominciando ad usare illustrator.. Vorrei capire quali sono le impostazioni matematiche dietro lo strumento penna, che permette di disegnare curve attraverso l'utilizzo delle maniglie che permettono di regolare la tangente alla curva passante per determinati punti...
Sicuramente non mi sono spiegato, ma vedendo questo filmato credo che possiate capire... (o altri cercando strumento penna)
https://www.youtube.com/watch?v=VrFOkRrN5xM
Ecco vorrei capire, ad esempio, come fare uno strumento ...
Data una funzione $f:RR->RR^2$ continua e iniettiva si può dimostrare che $f(RR)$ ha parte interna vuota, quello che si dimostra è in realtà più forte, cioè che l'immagine è di prima categoria.
Mi stavo chiedendo 2 cose collegate:
- Nelle stesse ipotesi si può dimostrare che l'immagine è mai denso (nowhere dense)?
- Esiste una funzione in quel modo tale che $f(RR)\supQQ^2$?
Chiaramente non sono compatibili, anzi ognuna delle 2 implica la negazione dell'altra.
Qualcuno ha ...
Buongiorno, come da titolo sto studiando il seguente teorema, dal Sernesi.
Teorema: Il rango per righe e il rango per colonne di una matrice $A in M_(m,n) (K)$ coincidono.
Dimostrazione:
Siano $r$ rango per righe e $c$ rango per colonne di $A$.
Se $r=0$ gli elementi di $A$ sono nulli e quindi anche $c=0$.
Supponiamo che $r>0$.
Una relazione di dipendenza lineare tra le colonne di $A$ è ...
Ciao!
Non riesco a trovare una dimostrazione del seguente fatto: sia $X$ uno spazio vettoriale topologico e $CsubsetX$ un insieme convesso con interno non vuoto, allora
$i n t(overline(C))= i n t(C)$
$overline(i n t(C))=overline(C)$
Buongiorno. Sto provando a dimostrare la seguente relazione.
Sia $V$ spazio vettoriale sul campo $K$, e $B= {b_1, ...,b_n}$ una sua base. Considerati $v_1, ...., v_m$ vettori di $V$ con $bar(x_1)= (x_ (11), ..., x_(1n)), ..., bar(x_(m))=(x_(m1), ..., x_(mn)) $ vettori delle coordinate rispetto a $B$ dei vettori $v_1, ..., v_m$ rispettivamente. Dimostrare che se si consideri una combinazione lineare $sum_(i=1) ^malpha_iv_i$ allora ha coordinate $sum_(i=1) ^malpha_ibar(x_i)$.
Per dimostrare questa affermazione ho ...
Buon giorno a tutti, vorrei chiarire un aspetto delle componenti covarianti e controvarianti di un vettore:
base di $R^2$: $V_1$=(3,3), $V_2$=(1,2)
base duale: $Ø_1$=(2/3,-1/3), $Ø_2$=(-1,1)
Vettore $A$=(2,5)
le componenti covarianti del vettore A sono:
$A_1$=$A•V_1$ = (2,5)•(3,3)=21
$A_2$=A•$V_2$ =(2,5)•(1,2) =12
le componenti controvarianti del vettore A ...
Salve, vorrei che qualcuno gentilmente mi spiegasse in modo dettagliato il calcolo del gruppo fondamentale della Bottiglia di Klein. Grazie in anticipo.
Sia $A$ in $M_n(C)$ una matrice a predominanza diagonale debole per righe e irriducibile.
Sia $R$ := l'unione da $i=1$ a $n$ dei cerchi $R_i$ di Gerschgorin per righe.
Dimostrare che se $0$ appartiene all' interno di $R$, allora $0$ non è autovalore di $A$.
Per definizione di predominanza diagonale debole so che $|a_(ii)|>=$ $\sum_{j=1}^n |a_(ij)|$ ed esiste un ...
Buongiorno a tutti,
sto seguendo un corso che fornisce una panoramica sui sistemi integrabili e le algebre di Lie.
Come primo argomento abbiamo trattato la catena di spin XXX e mi sono stati assegnati seguenti esercizi. Qualcuno potrebbe aiutarmi a risolverli?
Grazie!
1)Calcola l'elemento di Casimir di su(2) usando il generatore \(Sa=\sigma_a/2\)
2)Mostra che \(Sa=\sigma_a/2\) con \(\sigma_a\) Matrice di Pauli segue la relzione di commutazione su(2)
3)Mostra che l'hamiltoniana della catena di ...
Ciao,
vi chiedo aiuto sulla seguente questione: consideriamo una semplice sfera (superficie sferica) immersa nello spazio euclideo $E^3$ dotata della topologia del sottoinsieme indotta dalla topologia standard di $E^3$.
Ora la sfera e' compatta mentre il piano $E^2$ non lo e' per cui non esiste un omeomorifismo tra i due. Ecco, anche se non sono omeomorfi ritengo sia possibile comunque trovare una biezione globale tra la sfera e la sua immagine su ...
Buongiorno, sto studiando il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan dal Sernesi.
Ora riporto tutto il procedimento che sta scritto sul Sernesi (oh yeah), dove ci sono alcuni punti che quando vengono applicati non mi tornano.
Per chi conosce molto bene il metodo chiaramente non ha bisogno di leggere tutta la pappardella da me scritta.
In sintesi ricordo che il metodo è un procedimento che ci permette di stabilire se un sistema lineare è compatibile oppure no. Nel caso in cui sia compatibile ...
In generale uno spazio vettoriale ha infinite basi? Come lo si può mostrare?
Hi everyone. It's my first topic, so I hope it is right. I would like to share with you this statement, which I try to solve as exercise.
Consider a vector space $V$ with finte dimension $n\geq 1$ and $T\in End(V)$ with $m^T(t)=\prod_{i=1}^{r}p_i(t)^{e_i}$, where $p_i(t)$ is a monic and irreducible polynomial in $\mathbb{K}[t]$ and $e_i\geq 1$ for all $i=1,...,r$. Then you have to find $r$ polynomials $f_i(t) \in \mathbb{K}[t]$ such that ...
Buongiorno. Ho il seguente esercizio:
In $K^3$, posto:
$W={(x,y,z) in K^3: z=0}$
$W_1={(x,y,z) in K^3: x=0, y=0}$
$W_2={(x,y,z) in K^3: y=0, z=0}$
$W_3={(x,y,z) in K^3: x=0, z=0}$
provare $W=W_3o+ W_2$, $K^3=Wo+ W_1$. Vi chiedo se il seguente modo di procedere è corretto.
Provo $W=W_3o+ W_2$.
In tal caso osserviamo che innanzitutto vale $W=W_3+W_2$, cioè $W_3+W_2subseteq W$ e $Wsubseteq W_3+W_2$, infatti è banale la seguente $W_3+W_2subseteq W$ (somma di due sottospazi è un sottospazio), invece, preso ...
Buongiorno.
Testo da cui sto studiando: Geometria uno-Sernesi.
Sto studiando i sistemi lineari a gradini e le loro soluzioni.
In particolare sto studiando il caso in cui $m<n$ cioè il numero dell'equazioni è inferiore al numero degli incognite. Un tale sistema può essere dalla forma $ (1) { ( a_(11)X_1+a_12X_2+...+a_(1m)X_m=b_1-(a_(1m+1)X_(m+1)+...+a_(1n)X_n) ),( \qquadqquad\qquad\qquada_22X_2+...+a_(2m)X_m=b_2-(a_(2m+1)X_(m+1)+...+a_(2n)X_n) ),( ),( ),( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad \qquad \qquad\qquada_(mm)X_m=b_m-(a_(mm+1)X_(m+1)+...+a_(mn)X_n)):} $
Per determinare una soluzione di un siffatto sistema devo dare dei valori arbitrari $t_(m+1), ..., t_n in K$ all'incognite libere $X_(m+1), ...., X_n$ e quindi ottengo ...
Ciao a tutti,ho grande confusione su un argomento alquanto banale.
Studiando un sistema con parametro alla fine mi sono trovato a dover discutere la compatiilità di questo sistema
x+y+3z=2
2x+3y-z=1
la matrice incompleta ha rango 2 (come la mx completa) per cui dovrei scegliere un parametro libero:
se volessi usare il sistema di eliminazione di Gauss mi verrebbe quanto segue :
2 2 6 | 4
0 1 -7 | 3
Ho moltiplicato per due la prima riga e poi ho fatto r2-r1
Ora qui mi perdo in ...
ciao ho una semplice domanda sull'argomento,
La professoressa durante una lezione ha detto che in una forma lineare $ ( f:V |-> IK | f " ""lineare" ) $ se fisso una base $ B={ul(b_1),...,ul(b_n) } $ di $V$ e prendo un $ ul(x)in V $ allora $ ul(x)=sum_(i = \1)^n \x_iul(b_i) $ dove gli $x_i$ sono gli elementi del vettore $ ul(x)$ .
per quale ragione si viene a creare questa costrizione ?
sono abituato a vedere che una scrittura del genere la si può riscontrare solo se $B$ fosse una ...
Fissato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz, si considerino le due rette
r e r' di equazioni
r =( (h − 2)x − y − z + 2 = 0 ; (5h − 2)x − y + z − 2 = 0 )
r' =( x + y + z − 2 = 0 ; x + (2k − 3)y − z + 2 − 2k = 0 )
Al variare di h (rispettivamente di k) la retta r (risp. r'
) descrive un fascio di rette
che giace sul piano π (risp. π'). Si determini il tipo di fascio e le equazioni di π e π'.
Si discuta la mutua posizione (complanarità o meno, e, nel primo caso, ...
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