Tutti i funzionali lineari in dimensione finita sono continui?
Salve a tutt*!
Un concetto su cui si batte spesso nel mio corso di Metodi è che un funzionale lineare in uno spazio topologico a dimensione finita è sempre continuo. Il nostro libro di testo[nota]A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin - Elementi di Teoria delle Funzioni e di Analisi Funzionale, Edizioni Mir, pag. 172[/nota] liquida questo risultato come automatico, mentre io ho tentato di dare una derivazione formale nel seguente modo:
Sia \(\displaystyle X[\mathbb{C}] \) uno spazio lineare topologico con \(\displaystyle dimX \equiv n \). Il funzionale \(\displaystyle F: x \in X \rightarrow F(x) \in \mathbb{C}\) è lineare continuo se:
\(\displaystyle i) \; F(\lambda x_1 + \mu x_2) = \lambda F(x_1) + \mu F(x_2) \; \forall x_1, x_2 \in X, \; \forall \lambda, \mu \in \mathbb{C} \\
ii) \; \forall \varepsilon >0 \; \exists \delta_\varepsilon >0 : \forall x \in X:||x-x_0||<\delta_\varepsilon \Rightarrow |F(x) - F(x_0)|<\varepsilon \; \; \forall x_0 \in X \)
Ho indicato la distanza come la metrica indotta da un'opportuna norma.
Usando una base ortonormale (in realtà mi basta che sia normalizzata) \(\displaystyle \{ e_i \}\) dello spazio \(\displaystyle X \), posso esplicitare \(\displaystyle x,x_0 \) attraverso le loro componenti:
\(\displaystyle x \equiv \sum_i^n x_i e_i \; \; \; x_0 \equiv \sum_i^n x_i^0 e_i\ \; \; \; x_i,x_i^0 \in \mathbb{C} \)
Usando le proprietà della metrica e la linearità del funzionale, posso ricavare che
\(\displaystyle || x-x_0|| \leqslant \sum_i^n || (x_i - x_i^0)e_i || = \sum_i^n | x_i-x_i^0| \)
\(\displaystyle |F(x)-F(x_0)| \leqslant \sum_i^n |x_i-x_i^0| |F(e_i)| \leqslant M \sum_i^n |x_i-x_i^0| \)
Avendo definito \(\displaystyle M:=\max_{i \leqslant n} \{|F(e_i)|\}\)
Io ho pensato di poter scegliere \(\displaystyle \delta_\varepsilon \leqslant \frac{\varepsilon}{M} \). In questo modo avrei
\(\displaystyle ||x-x_0|| \leqslant \sum_i^n |x_i-x_i^0| < \delta_\varepsilon \)
\(\displaystyle \Downarrow \)
\(\displaystyle |F(x)-F(x_0)| \leqslant M\sum_i^n |x_i-x_i^0| < M \; \frac{\varepsilon}{M} =\varepsilon \)
Tuttavia questa dimostrazione non mi convince poiché non posso essere certo che \(\displaystyle ||x-x_0||<\delta_\varepsilon \) implichi anche \(\displaystyle \sum_i^n |x_i-x_i^0|< \delta_\varepsilon \), visto che quella somma è un maggiorante della distanza, non un minorante. Però penso comunque di poter sfruttare il fatto che se \(\displaystyle ||x-x_0|| \) è controllata da \(\displaystyle \sum_i^n |x_i-x_i^0|\), allora lo è anche \(\displaystyle |F(x)-F(x_0)| \) a meno di un fattore \(\displaystyle M \).
Qualcun* può trovare dove sbaglio? Potrebbe dipendere dal fatto che mi stia mettendo in un'ipotesi più forte dell'avere uno spazio topologico[nota]Allego, se possibile, l'estratto del libro dove è definito uno spazio lineare topologico.
[/nota] (ho supposto l'esistenza di una norma; tuttavia nelle applicazioni pratiche del corso la topologia è sempre indotta, perlomeno, da una norma. Quindi ho ritenuto più "funzionale" assumere questa ipotesi)?
Grazie in anticipo!
Un concetto su cui si batte spesso nel mio corso di Metodi è che un funzionale lineare in uno spazio topologico a dimensione finita è sempre continuo. Il nostro libro di testo[nota]A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin - Elementi di Teoria delle Funzioni e di Analisi Funzionale, Edizioni Mir, pag. 172[/nota] liquida questo risultato come automatico, mentre io ho tentato di dare una derivazione formale nel seguente modo:
Sia \(\displaystyle X[\mathbb{C}] \) uno spazio lineare topologico con \(\displaystyle dimX \equiv n \). Il funzionale \(\displaystyle F: x \in X \rightarrow F(x) \in \mathbb{C}\) è lineare continuo se:
\(\displaystyle i) \; F(\lambda x_1 + \mu x_2) = \lambda F(x_1) + \mu F(x_2) \; \forall x_1, x_2 \in X, \; \forall \lambda, \mu \in \mathbb{C} \\
ii) \; \forall \varepsilon >0 \; \exists \delta_\varepsilon >0 : \forall x \in X:||x-x_0||<\delta_\varepsilon \Rightarrow |F(x) - F(x_0)|<\varepsilon \; \; \forall x_0 \in X \)
Ho indicato la distanza come la metrica indotta da un'opportuna norma.
Usando una base ortonormale (in realtà mi basta che sia normalizzata) \(\displaystyle \{ e_i \}\) dello spazio \(\displaystyle X \), posso esplicitare \(\displaystyle x,x_0 \) attraverso le loro componenti:
\(\displaystyle x \equiv \sum_i^n x_i e_i \; \; \; x_0 \equiv \sum_i^n x_i^0 e_i\ \; \; \; x_i,x_i^0 \in \mathbb{C} \)
Usando le proprietà della metrica e la linearità del funzionale, posso ricavare che
\(\displaystyle || x-x_0|| \leqslant \sum_i^n || (x_i - x_i^0)e_i || = \sum_i^n | x_i-x_i^0| \)
\(\displaystyle |F(x)-F(x_0)| \leqslant \sum_i^n |x_i-x_i^0| |F(e_i)| \leqslant M \sum_i^n |x_i-x_i^0| \)
Avendo definito \(\displaystyle M:=\max_{i \leqslant n} \{|F(e_i)|\}\)
Io ho pensato di poter scegliere \(\displaystyle \delta_\varepsilon \leqslant \frac{\varepsilon}{M} \). In questo modo avrei
\(\displaystyle ||x-x_0|| \leqslant \sum_i^n |x_i-x_i^0| < \delta_\varepsilon \)
\(\displaystyle \Downarrow \)
\(\displaystyle |F(x)-F(x_0)| \leqslant M\sum_i^n |x_i-x_i^0| < M \; \frac{\varepsilon}{M} =\varepsilon \)
Tuttavia questa dimostrazione non mi convince poiché non posso essere certo che \(\displaystyle ||x-x_0||<\delta_\varepsilon \) implichi anche \(\displaystyle \sum_i^n |x_i-x_i^0|< \delta_\varepsilon \), visto che quella somma è un maggiorante della distanza, non un minorante. Però penso comunque di poter sfruttare il fatto che se \(\displaystyle ||x-x_0|| \) è controllata da \(\displaystyle \sum_i^n |x_i-x_i^0|\), allora lo è anche \(\displaystyle |F(x)-F(x_0)| \) a meno di un fattore \(\displaystyle M \).
Qualcun* può trovare dove sbaglio? Potrebbe dipendere dal fatto che mi stia mettendo in un'ipotesi più forte dell'avere uno spazio topologico[nota]Allego, se possibile, l'estratto del libro dove è definito uno spazio lineare topologico.
[/nota] (ho supposto l'esistenza di una norma; tuttavia nelle applicazioni pratiche del corso la topologia è sempre indotta, perlomeno, da una norma. Quindi ho ritenuto più "funzionale" assumere questa ipotesi)?Grazie in anticipo!
Risposte
Se guardi bene, il tuo ragionamento è corretto: hai trovato un intorno aperto di \(\displaystyle x^0\), contente una \(\displaystyle n\)-palla di centro \(\displaystyle x^0\) su cui hai verificato la condizione di continuità!
Mi devo spiegare meglio?
Mi devo spiegare meglio?
Se possibile, te ne sarei grato!
Esattamente come è definito l'intorno che avrei trovato in cui è verificata la condizione di continuità?
Se io ho imposto il "vincolo" \(\displaystyle \delta_\varepsilon \leqslant \frac{\varepsilon}{M} \) non posso automaticamente essere certo che valga pure \(\displaystyle \delta_\varepsilon > \sum_i^n |x_i-x_i^0|\) (di certo non varrà per ogni scelta di \(\displaystyle \varepsilon \))...
Grazie in anticipo!
Esattamente come è definito l'intorno che avrei trovato in cui è verificata la condizione di continuità?
Se io ho imposto il "vincolo" \(\displaystyle \delta_\varepsilon \leqslant \frac{\varepsilon}{M} \) non posso automaticamente essere certo che valga pure \(\displaystyle \delta_\varepsilon > \sum_i^n |x_i-x_i^0|\) (di certo non varrà per ogni scelta di \(\displaystyle \varepsilon \))...
Grazie in anticipo!
Sì, ma utilizzando la proprietà archimedea esiste un sempre \(k\in\mathbb{R}_{>0}\) (dipendendente da \(\epsilon\) e \(x_0\)) tale che \(\displaystyle\delta_{\epsilon}^{\prime}=\frac{kM}{\epsilon}\) "lavora".
Ti risulta?
Ti risulta?
Davide, devi scegliere una norma, altrimenti non ne esci. Per esempio scegli $||x||=sum_(i=1)^n |x_i|$. In dimensione finita tutte le norme sono topologicamente equivalenti (inducono la stessa topologia).
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