Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Buonasera.
Sto leggendo la dimostrazione dello sviluppo di Laplace dalla dispense del prof. Manetti
https://www1.mat.uniroma1.it/people/man ... ineare.pdf
che si trova a pagina 187. Ci sono alcuni passaggi che non mi tornano molto.
La dimostrazione si articola cosi:
Sia $A$ una matrice di ordine $n$ a valori in $K$ e il suo determinante è definito dalla seguente formula ricorsiva $detA:=sum_(j=1)^n (-1)^(1+j) a_(1j)detA_(1j)$ la trovate a pagina 175 delle dispense.
Lo sviluppo di Laplace consiste nel far ...
Salve ho un problema con un esercizio che il professore ha detto essere facilmente risolvibile con pochi ragionamenti:
Sia $f : M_3(R) -> M_3(R): A ->A +A^T$
a-)provare che f è lineare
b-) determinare kerf e Imf
Il punto a l'ho risolto facilmente. Per secondo punto ho provato a scrivermi una matrice fatta di lettere e a sommargli la sua trasposta ma non so proprio cosa fare dopo di questo. Ho cercato delle condizioni ma non ho concluso nulla. Qualcuno che mi aiuti per favore. Mi farebbe molto comodo se ...
Ciao,
una domanda banale...consideriamo l'insieme dei numeri naturali relativi $ZZ$ e proviamo a definire per esso una struttura di spazio vettoriale sul campo $RR$.
L'operazione di somma tra due elementi di $ZZ$ e' ancora un elemento di $ZZ$; in altre parole $(ZZ,+)$ e' gruppo abeliano.
Per l'operazione di 'composizione esterna' scegliamo il risultato della funzione 'parte intera inferiore' (nel seguito indicata con ...
Devo dimostrare che se \( K \) è un campo numerico di grado \(3\) e con base intera (integral basis) \( (1,\alpha,\beta) \), allora si ha
\[ \operatorname{disc}(K)^3 = \]
\[ \left[ (\alpha_1-\alpha_2)(\beta_1-\beta_3) -(\alpha_1-\alpha_3)(\beta_1-\beta_2) \right]^2 \]
\[ \cdot \left[ (\alpha_1-\alpha_2)(\beta_2-\beta_3) -(\alpha_2-\alpha_3)(\beta_1-\beta_2) \right]^2 \]
\[ \cdot \left[ (\alpha_1-\alpha_3)(\beta_2-\beta_3) -(\alpha_2-\alpha_3)(\beta_1-\beta_3) \right]^2 \]
dove \( ...
Sera a tutti,
cerco un aiuto per comprendere la correzione di un esercizio, si dovevano provare varie proprietà della moltiplicazione e addizione di matrici 2x2. Tuttavia c'è un uso degli indici che non capisco, ho provato a interpretarlo ma proprio non riesco.
Per la somma il tutor scrive:
es associiatività: $((A+B)*C)_(ij)=(A*B)_(ij)+C_(ij)=A_(ij)+B_(ij)-C_(ij)+...$ insomma non caspisco come vedere quegli indici.
Per il prodotto ancora peggio:
proviamo la associatività $((A*B)*C)_(ij)=sum_k(A*B)_(ik)C_(kj)=sum_ksum_hA_(ih)B_(hk)C_(kj)=$
$sum_hsum_kA_(ih)B_(hk)C_(kj)=sum_hA_(ih)sumB_(hk)C_(kj)=...$
Non ho davvero capito ...
Salve a tutti, l'argomento è il prodotto tensoriale ed il libro di riferimento è Geometria Differenziale di Marco Abate e Francesca Tovena, Springer, 2011.
Tutti gli spazi vettoriali che compariranno si intendono di dimensione finita e su un campo $\mathbb{K}$.
Siano $V_1 ,..., V_p$ spazi vettoriali. Per noi, il prodotto tensoriale di questi è definito come $$V_1\otimes\cdots\otimes V_p=\text{Mult}(V_1^{\star},\dots ,V_p^{\star};\mathbb{K}),$$ cioè come ...
Buonasera a tutti,
avrei una domanda sulla teoria degli operatori simmetrici. Per il teorema spettrale reale, un operatore $T\in\text{Op}(V)$ è simmetrico se e solo se esiste una base ortonormale di $V$ di autovettori di $T$. Dunque, se non esiste una simile base, l'operatore non è simmetrico.
Tuttavia, prendiamo l'operatore $T$ definito su $\mathbb{R}^3$ con matrice associata
\(M_e(T)=\begin{pmatrix}
0 & 4 & 0 \\
0 & 5 & -1 \\
0 & 1 & ...
Ciao,
ho un dubbio sul seguente argomento: consideriamo una sfera 2D $S$ dotata della classica struttura di varietà differenziabile.
Definiamo una funzione $f: S rarr RR$ che assume un valore costante lungo i paralleli della sfera (in altre parole gli insiemi di livello di $f$ sono i paralleli della sfera - in particolare essi si "riducono" a 2 punti in corrispondenza dei 2 poli).
La funzione $f$ e' smooth in quanto da luogo ad una funzione ...
Ho un problema con questo esercizio:
Siano dati i vettori di $R^3 u= (1, -1, 0), v=(1,0,1), w=(t^2, -t, (1/2(t-t^2)))$
a-) determinare per quali valori di t i vettori sono linearmente indipendenti
b-)Per t=-1 scrivere la matrice dell'applicazione lineare $f: R^3->R^3$ tale che u,v appartengono al nucleo di f e f(w) = 3 rispetto alla base canonica di $R^3$
Allora premetto che il punto b non lo so fare dato che non ho capito come usare la matrice del cambiamento di base
il punto a: Ho fatto così:
...
Buongiorno, avrei un vero o falso da proporvi.
Dimostra che per ogni matrice ortogonale esiste sempre almeno un autovalore reale (dimostrare in entrambi i casi, sia se la risposta è vera, sia se è falsa)
Buongiorno a tutti,
chiedo il vostro aiuto per il seguente problema:
Sono dati due insiemi corrispondenti di punti $P = \{p_i \ | i=1,\ldots,n\}$ e $Q = \{q_i \ | i=1,\ldots,n\}$. Vogliamo minimizzare la funzione \[\arg\min \sum_{i=1}^n ||f_\Theta(p_i)-q_i||^2 \] dove \[f_\Theta(p_i) = \begin{pmatrix}s_{p_i,x}+t_x \\ sp_{i,y}+t_y\end{pmatrix}\]
Domanda: Scrivere un sistema di equazioni lineari che, per due insiemi di punti $P,Q$ determini il fattore di scala $\Theta = \{s,t_x,t_y\}$ in modo che ...
Buonasera.
Determinante della trasposta. Quello che riporto è la dimostrazione presente sul pdf del prof Marco Manetti.
Per ogni matrice $A in M_n(K)$ vale $det(A^T)=det(A).$
Dimostrazione. Siccome $det(I_n^T) = 1$ basta dimostrare che l'applicazione
$d: M_n(K) to K, d(A) = det(A^T)$ e multilineare alternante sulle colonne.
Indicati con $a_(ij)$ i coefficienti di $A$, fissato un indice $i$, per lo sviluppo di Laplace rispetto
alla riga $i$ si ...
\(\newcommand{\mathscr}[1]{\mathcal{#1}}\) Siano \( (X,\mathscr O_X) \) e \( (Y,\mathscr O_Y) \) due spazi topologici (le \( \mathscr O_X \) e \( \mathscr O_Y \) sono le topologie). Definisco un embedding di \( (Y,\mathscr O_Y) \) in \( (X,\mathscr O_X) \) come una funzione di insiemi \( \iota\colon Y\to X \) iniettiva tale che la sua restrizione in codominio a \( \iota_*(Y) = \{\iota(y)\in X : y\in Y\} \) sia un omeomorfismo \( (Y,\mathscr O_Y)\to (\iota_*(Y),\mathscr ...
Ciao a tutti sto avendo un problema con un esercizio di geometria spero qualcuno possa aiutarmi.
In $R^3$ date le rette $r:(4,2,2)+<(3,2,1)>$ e $s:(0,6,0)+<(1,1,-1)>$ (sghembe) si chiede di trovare un cambio di riferimento $A(x,y,z)+b$ che conservi i volumi e tale che nel nuovo sistema la retta r sia l'asse z', la retta s abbia equazioni $z'=0, x'=1$.
L'idea che avevo era di mandare tramite A r sull'asse z, s sull'asse y e porre $b=(1,0,0)$. Per la conservazione dei volumi ...
ciao a tutti
mi è capitato questo problema
Si consideri lo spazio vettoriale reale L(R3,R2) delle applicazioni lineari di dominio R3 e codominio R2. Verificare che il sottoinsieme W= {f∈L(R3,R2)| f((2,0,−1)) = 3f((0,−1,0))} è un sottospazio vettoriale di L(R3,R2) e calcolarne la dimensione.
come affrontarlo? devo dimostrare che f: R3 -> R2?
grazie a chi mi aiuterà
Stefano
Buonasera a tutti
Data l'equazione differenziale del quarto ordine $$\frac{\partial^4 z(x)}{\partial x^4}=\mu^4 z(x)$$ l'integrale generale ha la forma $$z=C_1 \sin(\mu x) + C_2 \cos(\mu x) + C_3 \sinh(\mu x) + C_4 \cosh(\mu x) $$ le costanti di integrazione $C_i$ le ricavo imponendo le condizioni al contorno che forniscono un sistema lineare omogeneo
$ [( \star , \star , \star , \star ),( \star , \star , \star , \star ),( \star , \star , \star , \star ),( \star , \star , \star , \star) ] [( C_1 ),( C_2 ),( C_3 ),( C_4)]=[( 0 ),( 0 ),(0 ),(0)] $
Per escludere le soluzioni banali, annullo il ...
Salve,
il teorema di Kronecker (o teorema dei minori orlati, o semplicemente teorema degli orlati) è un teorema che permette di calcolare il rango di una matrice. Quando devo riferirmi a questo teorema utilizzando l'inglese ho un problema, se cerco su internet "kronecker theorem" trovo questo: [url]https://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker's_theorem[/url].
Sapendo che a volte i teoremi hanno nomi diversi in aree geografiche differenti, ho provato a cercare i metodi per calcolare il rango di una ...
Ho trovato questa identità $\nabla (\mathbf{x}^T\mathbf{Ax})=2\mathbf{Ax}$ mentre studiavo e ho provato a buttare giù una dimostrazione:
$$ \nabla (\mathbf{x}^T.\mathbf{Ax} )
=\nabla\mathbf{x}^T.\mathbf{Ax}
+\mathbf{x}^T.\mathbf{A}\nabla \mathbf{x}
=\mathbf{Ax}+(\mathbf{x}^T\mathbf{A} )^T= (\mathbf{A}+\mathbf{A}^T )\mathbf{x}=2\mathbf{Ax}$$
con $\mathbf{x}={x_1,..., x_n}^T$ e $\mathbf{A}$ matrice simmetrica di ordine $n$. Potrebbe andare oppure è piuttosto rozza?
Salve a tutt*!
Un concetto su cui si batte spesso nel mio corso di Metodi è che un funzionale lineare in uno spazio topologico a dimensione finita è sempre continuo. Il nostro libro di testo[nota]A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin - Elementi di Teoria delle Funzioni e di Analisi Funzionale, Edizioni Mir, pag. 172[/nota] liquida questo risultato come automatico, mentre io ho tentato di dare una derivazione formale nel seguente modo:
Sia \(\displaystyle X[\mathbb{C}] \) uno spazio lineare topologico ...
salve,
ho letto che all'aumentare delle dimensioni di uno spazio la distanza euclidea perde significato perchè tutti i punti tendono ad avere la stessa distanza.
E' corretto?
grazie
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