Eliminazione di Gauss-Jordan
Buongiorno, sto studiando il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan dal Sernesi.
Ora riporto tutto il procedimento che sta scritto sul Sernesi (oh yeah), dove ci sono alcuni punti che quando vengono applicati non mi tornano.
Per chi conosce molto bene il metodo chiaramente non ha bisogno di leggere tutta la pappardella da me scritta.
In sintesi ricordo che il metodo è un procedimento che ci permette di stabilire se un sistema lineare è compatibile oppure no. Nel caso in cui sia compatibile ci permette inoltre di determinare tutte le soluzioni del sistema.
Per il seguito considero
e nomino le seguenti operazioni elementari sul sistema come:
(I) scambiare tra loro due equazioni del sistema;
(II) moltiplicare un'equazione del sistema per uno scalare non nullo;
(III) sostituire un'equazione del sistema con quella ottenuta sommando ad essa un multiplo di un'altra equazione.
Metodo:
Preliminarmente osserviamo se una delle sue equazioni, diciamo la i-esima, ha identicamente nullo il primo membro, cioè $0=b_i$.
In tal caso si possono avere $b_i=0 or b_i ne0$ primo caso possiamo cancellare l'equazione e ottenere un sistema equivalente, nel secondo caso il sistema è incompatibile.
Possiamo pertanto supporre che nessuno dei primi membri sia identicamente nullo.
Possiamo inoltre supporre che sia $a_(i1) ne 0$ per qualche $i=1,...,m$: ciò può essere ottenuto scambiando eventualmente tra loro due delle incognite.
Con un'operazione elementare (I) possiamo ottenere $a_(11) ne 0$, e moltiplicando per $a_(11)^(-1)$ cosicché $a_11=1$.
Sommando alle successive equazioni la prima moltiplicata rispettivamente per $-a_(21), ...,-a_(m1)$,si ottiene il seguente sistema
Se qualcuna delle equazioni del sistema $S'$ è dalla forma $0=0$, possiamo ometterla, invece se compare un'equazione della forma $0=b'_i$ con $b'_i ne 0$ allora il sistema è incompatibile, e pertanto anche il sistema $S$ è incompatibile ed il procedimento si arresta.
Possiamo pertanto supporre che nessuno dei primi membri del sistema $S'$ sia identicamente nullo.
Procediamo sul sistema $S'$ ragionando dalla seconda equazione a scendere giù.
Effettuando eventualmente un cambiamento dell'ordine delle variabili ed operazioni elementari (I) (II) possiamo suppore $a'_(22)=1$.
Sommando alle successive equazioni la prima moltiplicata rispettivamente per $-a'_(32), ...,-a'(m2)$,si ottiene il seguente sistema
Se qualcuna delle equazioni del sistema $S^('')$ è dalla forma $0=0$, possiamo ometterla, invece se compare un'equazione della forma $0=b^('')_i$ con $b^('')_i ne 0$ allora il sistema è incompatibile, e pertanto anche il sistema $S$ è incompatibile ed il procedimento si arresta.
In caso contrario applichiamo di nuovo lo stesso procedimento al sistema $S^('')$ escludendo le prime due equazioni .
Questo procedimento potrà essere iterato fintato che non si arrivi a un sistema incompatibile oppure un sistema a gradini equivalente al sistema $S$. Nel primo caso possiamo concludere che il sistema è incompatibile, secondo caso, possiamo determinare le soluzioni del sistema a gradini, le quali sono anche le soluzioni del sistema $S$ ed il procedimento ha termine.
Il metodo sostanzialmente l'ho capito, però quando viene applicato ci sono dei passaggi che non mi sono molto chiari.
Esempio
Sia
Consideriamo la matrice associata al sistema $S$, cioè
Commento un attimo questi passaggi:
Prima operazione: Scambio di righe tra la prima e la terza, dopodiché è stato moltiplicato per un fattore $0.5$ la prima riga.
Ora lo scopo è di annullare tutti gli elementi presenti nella prima colonna. Poiché l'elemento $a_11=1$ non occorre fare scambi oppure operazioni elementari.
La seconda operazione: sottraggo alla seconda riga la prima moltiplicata per un fattore $2$.
Ora siamo alla terza matrice, la quale ha due righe uguali, esattamente le ultime due. Qui il dubbio.
Premesso che è ovvio che l'ultima riga si annulla essendo uguale alla seconda.
Formalmente l'ultima operazione si dovrebbe vedere nella seguente maniera:
scambio di ordine della terza con la seconda colonna
ora sottraggo alla terza la seconda riga
si ha una riga nulla, pertanto possiamo cancellarla e ottenere
ricordando lo scambio di variabili si ha
Ho fatto tutto questo giro, poiché nella presentazione del metodo viene detto di posizionare l'unità sulla diagonale. Ora vi chiedo è giusta la mia osservazione ?
L'esercizio non è ancora terminato, ci manca un altro pezzettino.
Spero di essere stato chiaro nell'esporre il mio dubbio.
Saluti.
Ora riporto tutto il procedimento che sta scritto sul Sernesi (oh yeah), dove ci sono alcuni punti che quando vengono applicati non mi tornano.
Per chi conosce molto bene il metodo chiaramente non ha bisogno di leggere tutta la pappardella da me scritta.
In sintesi ricordo che il metodo è un procedimento che ci permette di stabilire se un sistema lineare è compatibile oppure no. Nel caso in cui sia compatibile ci permette inoltre di determinare tutte le soluzioni del sistema.
Per il seguito considero
$ S:{ ( a_11X_11+a_12X_12+...+a_(1n)X_(1n)=b_1 ),( a_21X_21+a_22X_22+...+a_(2n)X_(2n)=b_2 ),( .......... ),(.......... ),( a_(m1)X_(m1)+a_(m2)X_(m2)+...+a_(mn)X_(mn)=b_m ):} $
e nomino le seguenti operazioni elementari sul sistema come:
(I) scambiare tra loro due equazioni del sistema;
(II) moltiplicare un'equazione del sistema per uno scalare non nullo;
(III) sostituire un'equazione del sistema con quella ottenuta sommando ad essa un multiplo di un'altra equazione.
Metodo:
Preliminarmente osserviamo se una delle sue equazioni, diciamo la i-esima, ha identicamente nullo il primo membro, cioè $0=b_i$.
In tal caso si possono avere $b_i=0 or b_i ne0$ primo caso possiamo cancellare l'equazione e ottenere un sistema equivalente, nel secondo caso il sistema è incompatibile.
Possiamo pertanto supporre che nessuno dei primi membri sia identicamente nullo.
Possiamo inoltre supporre che sia $a_(i1) ne 0$ per qualche $i=1,...,m$: ciò può essere ottenuto scambiando eventualmente tra loro due delle incognite.
Con un'operazione elementare (I) possiamo ottenere $a_(11) ne 0$, e moltiplicando per $a_(11)^(-1)$ cosicché $a_11=1$.
Sommando alle successive equazioni la prima moltiplicata rispettivamente per $-a_(21), ...,-a_(m1)$,si ottiene il seguente sistema
$ S':{ ( X_11+a'_12X_12+...+a'_(1n)X_(1n)=b'_1 ),( \qquad\qquad\qquada'_22X_22+...+a'_(2n)X_(2n)=b'_2 ),( .......... ),(.......... ),(\qquad\qquad\qquada'_(m2)X_(m2)+...+a'_(mn)X_(mn)=b'_m ):} $
Se qualcuna delle equazioni del sistema $S'$ è dalla forma $0=0$, possiamo ometterla, invece se compare un'equazione della forma $0=b'_i$ con $b'_i ne 0$ allora il sistema è incompatibile, e pertanto anche il sistema $S$ è incompatibile ed il procedimento si arresta.
Possiamo pertanto supporre che nessuno dei primi membri del sistema $S'$ sia identicamente nullo.
Procediamo sul sistema $S'$ ragionando dalla seconda equazione a scendere giù.
Effettuando eventualmente un cambiamento dell'ordine delle variabili ed operazioni elementari (I) (II) possiamo suppore $a'_(22)=1$.
Sommando alle successive equazioni la prima moltiplicata rispettivamente per $-a'_(32), ...,-a'(m2)$,si ottiene il seguente sistema
$ S^(''):{ ( X_11+a'_12X_12+a'_(13)X_(13)...+a'_(1n)X_(1n)=b'_1 ),( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquadX_22+a_(23)^('')X_3+...+a_(2n)^('')X_(2n)=b_2^('') ),( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquada_(33)^('')X_3+...+a_(3n)^('')X_(3n)=b_3^('') ),(.......... ),(\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquada_(s3)^('')X_3+...+a_(sn)^('')X_(sn)=b_s^('') ):} $
Se qualcuna delle equazioni del sistema $S^('')$ è dalla forma $0=0$, possiamo ometterla, invece se compare un'equazione della forma $0=b^('')_i$ con $b^('')_i ne 0$ allora il sistema è incompatibile, e pertanto anche il sistema $S$ è incompatibile ed il procedimento si arresta.
In caso contrario applichiamo di nuovo lo stesso procedimento al sistema $S^('')$ escludendo le prime due equazioni .
Questo procedimento potrà essere iterato fintato che non si arrivi a un sistema incompatibile oppure un sistema a gradini equivalente al sistema $S$. Nel primo caso possiamo concludere che il sistema è incompatibile, secondo caso, possiamo determinare le soluzioni del sistema a gradini, le quali sono anche le soluzioni del sistema $S$ ed il procedimento ha termine.
Il metodo sostanzialmente l'ho capito, però quando viene applicato ci sono dei passaggi che non mi sono molto chiari.
Esempio
Sia
$ S:{ ( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquadX_3+2X_4=3 ),( 2X_1+4X_2-2X_3\qquad\qquad\qquad=4 ),(2X_1+4X_2-X_3+2X_4=7 ):} $
Consideriamo la matrice associata al sistema $S$, cioè
$ ( ( 0 , 0 , 1 , 2 , 3 ),( 2, 4 , -2 , 0 , 4 ),( 2 , 4 , -1 , 2 , 7 ) ) to( ( 1 , 2 , -1 , 0 , 2 ),( 2, 4 , -1 , 2 , 7 ),( 0 , 0 , 1 , 2 , 3 ) ) to ( ( 1 , 2 , -1 , 0 , 2 ),( 0 , 0 , 1 , 2 , 3 ),( 0 , 0 , 1 , 2 , 3 ) ) to ( ( 1 , 2 , -1 , 0 , 2 ),( 0 , 0 , 1 , 2 , 3 )) $
Commento un attimo questi passaggi:
Prima operazione: Scambio di righe tra la prima e la terza, dopodiché è stato moltiplicato per un fattore $0.5$ la prima riga.
Ora lo scopo è di annullare tutti gli elementi presenti nella prima colonna. Poiché l'elemento $a_11=1$ non occorre fare scambi oppure operazioni elementari.
La seconda operazione: sottraggo alla seconda riga la prima moltiplicata per un fattore $2$.
Ora siamo alla terza matrice, la quale ha due righe uguali, esattamente le ultime due. Qui il dubbio.
Premesso che è ovvio che l'ultima riga si annulla essendo uguale alla seconda.
Formalmente l'ultima operazione si dovrebbe vedere nella seguente maniera:
scambio di ordine della terza con la seconda colonna
$ ( ( 1 , -1, 2 , 0 , 2 ),( 0 , 1 , 0 , 2 , 3 ),( 0 , 1 , 0 , 2 , 3 ) ) $
ora sottraggo alla terza la seconda riga
$ ( ( 1 , -1 , 2 , 0 , 2 ),( 0 , 1 , 0 , 2 , 3 ), (0,0,0,0,0) ) $
si ha una riga nulla, pertanto possiamo cancellarla e ottenere
$ ( ( 1 , 2 , -1 , 0 , 2 ),( 0 , 1 , 0 , 2 , 3 ) ) $
ricordando lo scambio di variabili si ha
$ ( ( 1 , 2 , -1 , 0 , 2 ),( 0 , 0 , 1 , 2 , 3 ) ) $
Ho fatto tutto questo giro, poiché nella presentazione del metodo viene detto di posizionare l'unità sulla diagonale. Ora vi chiedo è giusta la mia osservazione ?
L'esercizio non è ancora terminato, ci manca un altro pezzettino.
Spero di essere stato chiaro nell'esporre il mio dubbio.
Saluti.
Risposte
Unfortunaltely I don't understand very well your question. I have just seen the example which you did, but you haven't to shift the columns of the matrix but you must operate only on the rows. The fact to transform as 1 the possible pivot is a way to simplify the work of reduction under 1, but it isn't necessary. I hope it is better now 
let us know if it is okay
let us know if it is okay
Thank you !
I read what you recommended. Also from the book I am studying from, the linear step system is defined as the system that has all elements other than zero on the diagonal. That is why I made this observation.
I read what you recommended. Also from the book I am studying from, the linear step system is defined as the system that has all elements other than zero on the diagonal. That is why I made this observation.
Formalmente l'ultima operazione si dovrebbe vedere nella seguente maniera:
Non necessariamente.
Quello di arrivare ad avere una matrice a scalini e' solo un artificio grafico per noi umani, che siamo in grado di riconoscere ad occhio, su una tabella, se c'e' una zona che contiene un blocco di zeri.
Mi spiego meglio: il gioco consiste nel far comparire nella matrice il maggior numero di zeri , utilizzando le 3 regole che hai citato.
Il gioco e' tutto qui, e i modi per arrivarci possono essere leggermente diversi.
Il fatto della matrice a scalini e' solo un artificio aggiuntivo per procedere in modo ordinato e facilmente riconoscibile, ma di fatto non e' una richiesta necessaria per arrivare a determinare il rango della matrice.
D'altronde si chiama "Metodo di eliminazione...". Non e' un teorema, e' un metodo, un processo, un modo di fare determinati calcoli che porta ad un risultato, ma non pretende di essere l'unico.
Spero di averti aiutato col tuo dubbio.
Aggiungo a ciò che ha detto Quinzio che puoi benissimo anche ottenere una matrice a gradini inferiore.
E puoi anche cambiare le colonne...ma avendo l'accortezza di cambiare anche l'ordine delle variabili (alla prima colonna corrisponde la variabile $X_1$, alla seconda $X_2$, etc. etc. Quindi se ad esempio inverti la prima colonna con la seconda, la nuova matrice andrà a moltiplicare il vettore $(X_2,X_1,X_3,X_4)$)
E puoi anche cambiare le colonne...ma avendo l'accortezza di cambiare anche l'ordine delle variabili (alla prima colonna corrisponde la variabile $X_1$, alla seconda $X_2$, etc. etc. Quindi se ad esempio inverti la prima colonna con la seconda, la nuova matrice andrà a moltiplicare il vettore $(X_2,X_1,X_3,X_4)$)
Ok, però se uno procede in modo ortodosso con Gauss-Jordan, riducendo a scalini andata e ritorno e tutti i pivot a $1$ si ritrova una matrice che ti dice di tutto e di più 
Altro che "stabilire se è compatibile", quello è solo il primo passo
(pure determinante e inversa).
A mio parere è un po' sottovalutata 'sta cosa, è un procedimento facile da imparare e utilissimo per molte cose, un po' come le tabelline che tutti usiamo ma diamo per scontate.
Cordialmente, Alex
Altro che "stabilire se è compatibile", quello è solo il primo passo
(pure determinante e inversa).A mio parere è un po' sottovalutata 'sta cosa, è un procedimento facile da imparare e utilissimo per molte cose, un po' come le tabelline che tutti usiamo ma diamo per scontate.
Cordialmente, Alex
Buonasera. Vi spiego meglio il mio dubbio.
Riporto la definizione di sistema lineare a gradini che sta scritta sul libro.
Definizione: Sistema lineare a gradini:
Si definisce sistema lineare a gradini nelle incognite $X_1, X_2, ..., X_n$ un sistema dalla forma
L'esercizio invece continua cosi.
Il sistema corrispondente è
quindi abbiamo un sistema lineare a gradini.
Ora adesso mi chiedo perché si è dovuto effettuare un cambiamento nell'ordine delle variabili ? Non andava bene il sistema precedente ? A me mi sembra che anche lui risulta essere a gradini secondo la definizione.
Riporto la definizione di sistema lineare a gradini che sta scritta sul libro.
Definizione: Sistema lineare a gradini:
Si definisce sistema lineare a gradini nelle incognite $X_1, X_2, ..., X_n$ un sistema dalla forma
$ { ( a_11X_11+a_12X_12+...................+a_(1n)X_(1n)=b_1 ),( \qquad\qquad\qquad\qquad\ a_12X_12+...................+a_(1n)X_(1n)=b_1 ),( ... ),( ... ),( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\ qquad\a_(mm)X_(mm)+...+a_(mn)X_(mn)=
b_m ):} $
con $a_11a_22...a_mm ne 0$b_m ):} $
L'esercizio invece continua cosi.
Il sistema corrispondente è
$ { ( X_1+2X_2-X_3\qquad\qquad\qquad=2 ),( \qquad\qquad\qquad\qquad\ qquad\ X_3+2X_4=3 ):} $
dopodiché inverte le variabili cioè $ { ( X_1-X_3+2X_2 \qquad\qquad\qquad=2 ),( \ qquad\ qquadX_3\ qquad\qquad\qquad+2X_4=3 ):} $
quindi abbiamo un sistema lineare a gradini.
Ora adesso mi chiedo perché si è dovuto effettuare un cambiamento nell'ordine delle variabili ? Non andava bene il sistema precedente ? A me mi sembra che anche lui risulta essere a gradini secondo la definizione.
"Yuyu_13":
A me [strike]mi[/strike] sembra che anche lui risulti essere a gradini secondo la definizione.
No
Conta la diagonale principale.
Comunque sia ti stai perdendo in dettagli che servono più a programmare un pc che a comprendere cosa stai facendo.
L'esempio che ha dato il libro era volutamente più "complicato" ma il concetto è che dopo la semplificazione si vedono chiaramente quali colonne sono potenzialmente papabili per essere una base dell'immagine.
Il resto si lascia variare.
"Bokonon":Quindi in un sistema lineare a gradini qual è la diagonale principale ? Forse il mio problema è proprio questo, riconoscerla.
No
Conta la diagonale principale.
Inoltre, nella definizione che ho riportato di sistema lineare a gradini, si vede che le variabili $X_1,X_2, ...,X_m,...,X_n$ rispettano un certo ordine di scrittura.
Nell'esempio proposto, si è scambiato l'ordine delle variabili $X_2, X_3$?
In questo modo l'ordine di scrittura viene a mancare, dunque non abbiamo più un sistema lineare a gradini.
"Yuyu_13":
Quindi in un sistema lineare a gradini qual è la diagonale principale ?
La diagonale principale di una matrice A (nxm) è sempre composta dalle componenti $a_(11), a_(22),...,a_(mn)$
"Yuyu_13":
Nell'esempio proposto, si è scambiato l'ordine delle variabili $X_2, X_3$?
In questo modo l'ordine di scrittura viene a mancare, dunque non abbiamo più un sistema lineare a gradini.
Al contrario.
Nell'esempio le colonne sono state invertite (e di conseguenza le variabili pure) per evidenziare la corretta diagonale principale.
Ma, ripeto, è un metodo scolastico di spiegare le cose...proprio come faresti se dovessi insegnare G-J ad un pc.
Il punto è che dopo la prima semplificazione diventa evidente che il sistema ha infinite soluzioni.
Le colonne sono composte da vettori che stanno su un piano, ergo abbiamo un sistema di generatori. Ne bastano 2 lin. indip. per formare una base. Per esempio le colonne 1 e 3, oppure le colonne 2 e 4 etc etc.
Di certo non si possono scegliere le colonne 1 e 2 perchè sono chiaramente lin. dip. (lo vedi?).
Scelta la base, si trova una combinazione unica che genera l'ultima colonna...la soluzione particolare.
Infine lasciando variare le due variabili rimanenti si trovano tutte le altre combinazioni lineari possibili.
Forse ci siamo.
@axpgn letto! sostanzialmente è irrilevante il nome delle variabili, quello che conta sono i coefficienti delle variabili.
In più, mi sembra di capire, da quello che dici qui
Saluti
@axpgn letto! sostanzialmente è irrilevante il nome delle variabili, quello che conta sono i coefficienti delle variabili.
"Bokonon":Queste devono essere tutte non nulle ?
La diagonale principale di una matrice A (nxm) è sempre composta dalle componenti $ a_(11), a_(22),...,a_(mn) $.
In più, mi sembra di capire, da quello che dici qui
"Bokonon":che il metodo G-J ci permette di individuare anche le colonne o righe linearmente indipendenti?
Di certo non si possono scegliere le colonne 1 e 2 perchè sono chiaramente lin. dip. (lo vedi?).
Saluti
"Yuyu_13":
Queste devono essere tutte non nulle ?
Ma no.
Almeno un pivot di una matrice sarà sempre non nullo....a meno che non sia una matrice nulla, ma non ha senso.
Magari su questo ci torniamo su e scrivo un post che ti da la visione geometrica di cosa accade.
"Yuyu_13":
In più, mi sembra di capire, da quello che dici qui che il metodo G-J ci permette di individuare anche le colonne o righe linearmente indipendenti?
Esatto. G-J è estremamente efficace.
Hai un insieme di generatori e vuoi sapere se sono lin. indip. ed eventualmente ricavare una base?
Li incolonni in una matrice e usi G-J.
Vuoi invertire una matrice quadrata? Puoi usare G-J e ti dirà anche se è invertibile o meno.
Vuoi conoscere il rango di una matrice e trovare una base dell'immagine e del kernel?
Usi G-J
@Bokonon che bello strumento
Ora torno al problema principale. La definizione di matrici a gradini. Io conosco la seguente definizione.
[bgcolor=Orange]Def. :[/bgcolor]
Considero $A in M_(m,n)(K)$ matrice qualsiasi. $A$ matrici a gradini se nella i-esima riga, con $i>1$ di $A$ il primo elemento non nullo si trova nelle colonne successive alla colonna corrispondente al primo elemento non nullo della riga precedente.
Se ti va puoi rispondimi a queste due domande.
1) Su questo penso che ci troviamo ?
2) Sistema lineare a gradini è quel sistema la cui matrice dei coefficienti è una matrice a gradini ?
"Bokonon":
Esatto. G-J è estremamente efficace.
Hai un insieme di generatori e vuoi sapere se sono lin. indip. ed eventualmente ricavare una base?
Li incolonni in una matrice e usi G-J.
Vuoi invertire una matrice quadrata? Puoi usare G-J e ti dirà anche se è invertibile o meno.
Vuoi conoscere il rango di una matrice e trovare una base dell'immagine e del kernel?
Usi G-J
Ora torno al problema principale. La definizione di matrici a gradini. Io conosco la seguente definizione.
[bgcolor=Orange]Def. :[/bgcolor]
Considero $A in M_(m,n)(K)$ matrice qualsiasi. $A$ matrici a gradini se nella i-esima riga, con $i>1$ di $A$ il primo elemento non nullo si trova nelle colonne successive alla colonna corrispondente al primo elemento non nullo della riga precedente.
Se ti va puoi rispondimi a queste due domande.
1) Su questo penso che ci troviamo ?
2) Sistema lineare a gradini è quel sistema la cui matrice dei coefficienti è una matrice a gradini ?
Sarò pedante ma nel link che ho postato c'è quello che cerchi, in particolare nel paragrafo "Definition RREF: Reduction Row-Echelon Form" c'è la definizione.
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Premetto che non conosco e non parlo l'inglese, quindi, per leggere quello che mi hai consigliato ho usato il traduttore di Google. Quindi
$A in M_(m,n)(K)$ a gradini $:<=>$ esiste $p in {1,...,m}$ per cui :
1) $forall i=p+1, p+2,...,m$ risulta $A^(i)=0$
2) $forall i=1,...,p$ esiste un indice di colonna $j_i in {1,2,....,n}$ tale che
$A^i=(0,0,..,a_(i,j_i),...,a_(i,n))$ con $a_(ij_i) ne 0$ e $j_1
Esempio
matrici a gradini $ ( ( 1 , 2 , 0 , 1 ),( 0 , 2 , 3 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ), ( ( 1 , 1, 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 5 ) ), ( ( 1 , -1, 0, 2 , 0), ( 0 , 0 , 1, 0, 0 ),( 0 , 0 , 0, -3, 1 ) ) $
matrici non a gradini $ ( ( 1 , 2 , 0 , 1 ),( 0 , 2 , 3 , 0 ),( 0 , 1, 5 , 0 ) ), ( ( 1 , 1, 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 3 , 0 , 0 ) ), ( ( 1 , -1, 0, 2 , 0), ( 0 , 0 , 1, 0, 0 ),( 0 , 3 , 0, -3, 1 ) ) $
Giusto ?
$A in M_(m,n)(K)$ a gradini $:<=>$ esiste $p in {1,...,m}$ per cui :
1) $forall i=p+1, p+2,...,m$ risulta $A^(i)=0$
2) $forall i=1,...,p$ esiste un indice di colonna $j_i in {1,2,....,n}$ tale che
$A^i=(0,0,..,a_(i,j_i),...,a_(i,n))$ con $a_(ij_i) ne 0$ e $j_1
Esempio
matrici a gradini $ ( ( 1 , 2 , 0 , 1 ),( 0 , 2 , 3 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ), ( ( 1 , 1, 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 5 ) ), ( ( 1 , -1, 0, 2 , 0), ( 0 , 0 , 1, 0, 0 ),( 0 , 0 , 0, -3, 1 ) ) $
matrici non a gradini $ ( ( 1 , 2 , 0 , 1 ),( 0 , 2 , 3 , 0 ),( 0 , 1, 5 , 0 ) ), ( ( 1 , 1, 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 3 , 0 , 0 ) ), ( ( 1 , -1, 0, 2 , 0), ( 0 , 0 , 1, 0, 0 ),( 0 , 3 , 0, -3, 1 ) ) $
Giusto ?
Va beh, bastava dirlo 
... comunque lascia perdere Google traduttore: in questi casi la precisione è fondamentale, non si può andare a spanne
Per quanto riguarda le matrici a gradini, ok mentre il resto non l'ho capito (peraltro penso che hai tradotto solo alcune righe quindi è un lavoro inutile) di conseguenza fai come se non avessi detto niente.
Cordialmente, Alex
... comunque lascia perdere Google traduttore: in questi casi la precisione è fondamentale, non si può andare a spanne Per quanto riguarda le matrici a gradini, ok mentre il resto non l'ho capito (peraltro penso che hai tradotto solo alcune righe quindi è un lavoro inutile) di conseguenza fai come se non avessi detto niente.
Cordialmente, Alex
Allora un punto l'abbiamo sistemato
Punto successivo, verificare se questa matrice $ | ( 1 , 2 , -1 , 0 , 2 ),( 0 , 0 , 1 , 2 , 3 ), ( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) | $ è una matrici a gradini.
E' una matrici a gradini, in particolare $p=2.$
Giusto ?
Punto successivo, verificare se questa matrice $ | ( 1 , 2 , -1 , 0 , 2 ),( 0 , 0 , 1 , 2 , 3 ), ( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) | $ è una matrici a gradini.
E' una matrici a gradini, in particolare $p=2.$
Giusto ?
Sì
Un altro punto l'abbiamo sistemato, grazie !!
Quindi se
Giusto ?
Quindi se
$ | ( 1 , 2 , -1 , 0 , 2 ),( 0 , 0 , 1 , 2 , 3 ), ( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) | $
è una matrici a gradini, allora anche il sistema corrispondente è un sistema lineare a gradini, cioè $ { ( X_1+2X_2-X_3\qquad\qquad\qquad=2 ),(\qquad\qquad\ qquad\ qquad \qquadX_3+2X_4=3 ),( 0=0):} to{ ( X_1+2X_2-X_3\qquad\qquad\qquad=2 ),(\qquad\qquad\ qquad\ qquad \qquadX_3+2X_4=3 ):} $
Giusto ?
Sì.
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By the way, ecco la traduzione di quel paragrafo:
"Definizione RREF: Reduced Row-Echeon Form ovvero Matrice ridotta (per righe) in forma di scalinata.
Una matrice è ridotta nella forma detta "a scalini" (per righe) se soddisfa tutte le seguenti condizioni:
1) Se c'è una riga in cui tutti i termini sono pari a zero, questa riga deve essere posizionata sotto qualsiasi altra riga che contiene almeno un termine non nullo.
2) Il termine NON nullo più a sinistra di ogni riga deve essere uguale a $1$.
3) Il termine NON nullo più a sinistra di ogni riga deve essere l'unico termine non nullo della sua colonna.
4) Consideriamo i due differenti termini non nulli più a sinistra di due righe diverse, uno posizionato nella riga $i$ e colonna $j$ e l'altro posizionato nella riga $s$ e colonna $t$. Se $s>i$ allora $t>j$.
Una riga di soli termini nulli si chiama "zero row" e il termine non nullo più a sinistra di una riga si chiama "leading $1$".
Una colonna contenente un "leading $1$" si chiama colonna pivot.
Il numero delle righe non nulle lo denotiamo con $r$, che è anche uguale al numero di "leading $1$" e al numero delle colonne pivot."
Nota mia: ATTENZIONE! Questa definizione di "matrice a scalini", a mio parere, è la più "restrittiva", nel senso che, a seconda dell'obiettivo che si vuole ottenere, NON è necessario eseguire tutti i passi elencati.
Per esempio, se si vuole conoscere SOLO il rango della matrice, non sono necessari i passi 2) e 3).
Detto questo, però, la matrice ridotta come detto sopra, ti dà tutte le informazioni che può dare
Cordialmente, Alex
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By the way, ecco la traduzione di quel paragrafo:
"Definizione RREF: Reduced Row-Echeon Form ovvero Matrice ridotta (per righe) in forma di scalinata.
Una matrice è ridotta nella forma detta "a scalini" (per righe) se soddisfa tutte le seguenti condizioni:
1) Se c'è una riga in cui tutti i termini sono pari a zero, questa riga deve essere posizionata sotto qualsiasi altra riga che contiene almeno un termine non nullo.
2) Il termine NON nullo più a sinistra di ogni riga deve essere uguale a $1$.
3) Il termine NON nullo più a sinistra di ogni riga deve essere l'unico termine non nullo della sua colonna.
4) Consideriamo i due differenti termini non nulli più a sinistra di due righe diverse, uno posizionato nella riga $i$ e colonna $j$ e l'altro posizionato nella riga $s$ e colonna $t$. Se $s>i$ allora $t>j$.
Una riga di soli termini nulli si chiama "zero row" e il termine non nullo più a sinistra di una riga si chiama "leading $1$".
Una colonna contenente un "leading $1$" si chiama colonna pivot.
Il numero delle righe non nulle lo denotiamo con $r$, che è anche uguale al numero di "leading $1$" e al numero delle colonne pivot."
Nota mia: ATTENZIONE! Questa definizione di "matrice a scalini", a mio parere, è la più "restrittiva", nel senso che, a seconda dell'obiettivo che si vuole ottenere, NON è necessario eseguire tutti i passi elencati.
Per esempio, se si vuole conoscere SOLO il rango della matrice, non sono necessari i passi 2) e 3).
Detto questo, però, la matrice ridotta come detto sopra, ti dà tutte le informazioni che può dare
Cordialmente, Alex
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