Restrizioni sull'immagine continua e iniettiva di $RR$ in $RR^2$

[otta96]

Data una funzione $f:RR->RR^2$ continua e iniettiva si può dimostrare che $f(RR)$ ha parte interna vuota, quello che si dimostra è in realtà più forte, cioè che l'immagine è di prima categoria.
Mi stavo chiedendo 2 cose collegate:
- Nelle stesse ipotesi si può dimostrare che l'immagine è mai denso (nowhere dense)?
- Esiste una funzione in quel modo tale che $f(RR)\supQQ^2$?
Chiaramente non sono compatibili, anzi ognuna delle 2 implica la negazione dell'altra.
Qualcuno ha qualche idea?

[apatriarca]

Se esistesse una \(f\) la cui immagine è inclusa in \(\mathbb Q^2\) si avrebbero due mappe continue \(f_1 \colon \mathbb R \to \mathbb Q = \pi_1 \circ f \) e \(f_2 \colon \mathbb R \to \mathbb Q = \pi_2 \circ f \). Ma \(\mathbb R\) è connesso mentre \(\mathbb Q\) è totalmente disconnesso per cui l'unica mappa continua possibile è quella costante. Ma \(f\) non può essere costante perché è iniettiva. Quindi l'immagine di \(f\) non può essere inclusa in \(\mathbb Q^2\).

[otta96]

Grazie per aver risposto, ma l'inclusione era nell'altro verso

[apatriarca]

In effetti la domanda mi sembrava troppo semplice..

[j18eos]

Inoltre, essendo \(f\) iniettiva: \(f(\mathbb{R})\) non può essere contenuto in \(\mathbb{Q}^2\), a causa delle cardinalità degli insiemi considerati!

[otta96]

Eh si, anche quello è vero.

[dissonance]

"otta96":
- Nelle stesse ipotesi si può dimostrare che l'immagine è mai denso (nowhere dense)?
- Esiste una funzione in quel modo tale che $f(RR)\supQQ^2$?

Bellino! A naso, la prima é falsa e la seconda é vera. Ma é piú semplice falsificare la prima che dimostrare la seconda. Bisognerebbe peró applicarvisi un po', cosa che non ho fatto.

[apatriarca]

A naso secondo me sono entrambe false invece. Tutte le space filling curve che conosco sono non iniettive e il metodo per renderle iniettive consiste nell' "aprirle". La misura rimane positiva ma non credo sia possibile coprire l'interno spazio con esse.

[dissonance]

Ma allora la prima é vera. Comunque mi sa che la domanda é piuttosto difficile.

[otta96]

"apatriarca":A naso secondo me sono entrambe false invece. Tutte le space filling curve che conosco sono non iniettive e il metodo per renderle iniettive consiste nell' "aprirle". La misura rimane positiva ma non credo sia possibile coprire l'interno spazio con esse.

Cioè ci sono funzioni continue e iniettive da $RR$ a $RR^2$ con l'immagine che ha misura positiva? Mi sembra un po' strano.
Comunque secondo me la seconda è falsa, mentre sulla prima non mi viene nè da pensare che sia vera nè che sia falsa.

[apatriarca]

Si chiamano curve di Osgood.

[dissonance]

@apatriarca:

[otta96]

Si ripensandoci non mi sembra così strano, avevo pensato ad una cosa che era in contraddizione con questo fatto ma ho controllato e non c'è nessuna contraddizione, anzi mi sembra che mi ci fossi anche imbattuto in passato in queste curve.

[otta96]

"dissonance":Ma allora la prima é vera. Comunque mi sa che la domanda é piuttosto difficile.

Aspetta ma cosa intendi con allora è vero?

[apatriarca]

La costruzione di queste curve è molto simile a quella definita nella sezione "Nowhere dense set with positive measure" della pagina di wikipedia sugli insieme mai densi. Il fatto che la misura sia positiva non vuol dire non siano mai densi. Anzi, proprio perché nella costruzione si "aprono un pochino" a ogni pezzo di curva probabilmente lo sono.

[dissonance]

"apatriarca": La misura rimane positiva ma non credo sia possibile coprire l'interno spazio con esse.

Quando ho detto "ma allora la prima è vera", intendevo che se quanto scritto da apatriarca è corretto allora l'immagine è mai densa. Non credo sia molto diverso ricoprire l'intero spazio o solo l'interno di una pallina. Ma sono solo speculazioni, non ci sto pensando seriamente

[otta96]

Continuo a non capire il nesso, se la misura è positiva l'insieme è in un certo senso "grande", mentre se è mai denso è in un ALTRO senso "(molto) piccolo", quindi anche se i due sensi sono diversi tra loro, perchè la misura positiva dovrebbe implicare il mai denso?