Aiuto con sistema (ruolo del parametro libero)

[barone_81]

Ciao a tutti,ho grande confusione su un argomento alquanto banale.
Studiando un sistema con parametro alla fine mi sono trovato a dover discutere la compatiilità di questo sistema

x+y+3z=2
2x+3y-z=1

la matrice incompleta ha rango 2 (come la mx completa) per cui dovrei scegliere un parametro libero:

se volessi usare il sistema di eliminazione di Gauss mi verrebbe quanto segue :

2 2 6 | 4
0 1 -7 | 3

Ho moltiplicato per due la prima riga e poi ho fatto r2-r1

Ora qui mi perdo in qualche errore stupido.
In base a cosa scelgo il parametro libero?
Se non vado errato devo scegliere l'incognita della colonna che non ha Pivot,quindi in questo caso dovrei scegliere la z?

[Andelf67]

ciao, non sono molto avanzato con gli studi ma se quello che ti dirò non ti confonderà va bene così.
come hai detto tu quello che stai facendo con l'algoritmo di gauss è risolvere un sistema $ A*( ( x ),( y ),( z ) ) =ul(b) $ , ed in un sistema le variabili non hanno priorità ovvero puoi continuamente passare da una variabile all'altra senza che lo spazio delle soluzioni ne risenta.
infatti $ ( ( 1 , 1 , 3 , 2 ),( 0 , 1 , -7 , -3 ) ) $
è analogo al sistema:
$ { ( x+y+3z=2 ),( y-7z=-3 ):} rArr { ( x=-10z+5 ),( y=7z-3 ):}rArr spazio" " di" "soluzioni ( ( -10z+5 ),( 7z-3 ),(z ) ) $
se invece fissi y allora:
poiché $ y=7z-3 rArr z= (y+3)/7 rArr spazio" " di" "soluzioni( ( -10*(y+3)/7+5 ),( y ),( (y+3)/7 ) ) $
se fissi x:
poiché $ x=-10z+5 rArr z=(5-x)/10 rArr spazio" " di" "soluzioni( ( x ),( 7*(5-x)/10 ),(( 5-x )/10) ) $
tutti e tre gli spazi sono soluzione del sistema proprio perché hai un parametro libero, non esiste un parametro privilegiato.

[barone_81]

Grazie mille,sei stato gentilissimo