Biezione globale della sfera su un sottoinsieme del piano
Ciao,
vi chiedo aiuto sulla seguente questione: consideriamo una semplice sfera (superficie sferica) immersa nello spazio euclideo $E^3$ dotata della topologia del sottoinsieme indotta dalla topologia standard di $E^3$.
Ora la sfera e' compatta mentre il piano $E^2$ non lo e' per cui non esiste un omeomorifismo tra i due. Ecco, anche se non sono omeomorfi ritengo sia possibile comunque trovare una biezione globale tra la sfera e la sua immagine su $E^2$.
Ho provato allora come segue: siano $(x,y,z)$ coordinate cartesiane in $E^3$ e supponiamo di posizionare la sfera in modo tale che il piano $x=0$ risulti tangente "a sinistra". Consideriamo ora i cerchi che si ottengono tagliando la sfera con i piani $x=const=c , c>0$ fino a che tale piano risulti tangente alla sfera "a destra". Dividiamo ciascun cerchio in 2 semicerchi per i poli ed assegniamo ad un semicerchio la coordinata $s=c$ e all'altro $s=-c$.
Facciamo inoltre in modo che tutti i punti della sfera sul piano $y=const=k$ passante per i poli della sfera appartengano ad uno solo dei 2 semicerchi per un fissato piano $x=c$. Tagliamo poi la sfera con piani $z=const$ e assegniamo tali valori ai cerchi che otteniamo (paralleli).
Mi sembra che la mappa così costruita sia di fatto biettiva sull'immagine anche se di certo non e' un omeomorfismo con l'immagine (sappiamo infatti che esso non puo' esistere).
Vi torna ? Grazie.
vi chiedo aiuto sulla seguente questione: consideriamo una semplice sfera (superficie sferica) immersa nello spazio euclideo $E^3$ dotata della topologia del sottoinsieme indotta dalla topologia standard di $E^3$.
Ora la sfera e' compatta mentre il piano $E^2$ non lo e' per cui non esiste un omeomorifismo tra i due. Ecco, anche se non sono omeomorfi ritengo sia possibile comunque trovare una biezione globale tra la sfera e la sua immagine su $E^2$.
Ho provato allora come segue: siano $(x,y,z)$ coordinate cartesiane in $E^3$ e supponiamo di posizionare la sfera in modo tale che il piano $x=0$ risulti tangente "a sinistra". Consideriamo ora i cerchi che si ottengono tagliando la sfera con i piani $x=const=c , c>0$ fino a che tale piano risulti tangente alla sfera "a destra". Dividiamo ciascun cerchio in 2 semicerchi per i poli ed assegniamo ad un semicerchio la coordinata $s=c$ e all'altro $s=-c$.
Facciamo inoltre in modo che tutti i punti della sfera sul piano $y=const=k$ passante per i poli della sfera appartengano ad uno solo dei 2 semicerchi per un fissato piano $x=c$. Tagliamo poi la sfera con piani $z=const$ e assegniamo tali valori ai cerchi che otteniamo (paralleli).
Mi sembra che la mappa così costruita sia di fatto biettiva sull'immagine anche se di certo non e' un omeomorfismo con l'immagine (sappiamo infatti che esso non puo' esistere).
Vi torna ? Grazie.
Risposte
Prova a dare un'occhiata alla proiezione stereografica.
Dovrebbe suggerirti qualcosa sulla dimensione della proiezione.
Dovrebbe suggerirti qualcosa sulla dimensione della proiezione.
"Bokonon":
Prova a dare un'occhiata alla proiezione stereografica.
Dovrebbe suggerirti qualcosa sulla dimensione della proiezione.
Scusami ma con la proiezione sterografica resta "fuori" dal mapping il punto stesso da cui proietto: quindi per es proiettando dal polo Nord quest'ultimo non viene mappato in alcun punto sul piano...
La mia idea era realizzare qualcosa di simile alle coordinate geografiche (latitudine, longitudine) evitando pero' le singolarita' di tale sistema di coordinate ai 2 poli.
Ovviamente (perché?) dobbiamo rinunziare alla continuità di una tale biezione;
quindi:
[list=1]
[*:3fxfnmpc]costruisci un omeomorfismo tra \(\displaystyle\mathbb{S}^2\) meno un punto ed \(\displaystyle\mathbb{R}^2\);[/*:m:3fxfnmpc]
[*:3fxfnmpc]costruisci un omeomorfismo tra \(\displaystyle\mathbb{R}^2\) e il disco aperto \(\displaystyle\mathbb{D}^2\);[/*:m:3fxfnmpc]
[*:3fxfnmpc]unisci (disgiuntamente) un punto a \(\displaystyle\mathbb{D}^2\) ed è fatta![/*:m:3fxfnmpc][/list:o:3fxfnmpc]
quindi:
[list=1]
[*:3fxfnmpc]costruisci un omeomorfismo tra \(\displaystyle\mathbb{S}^2\) meno un punto ed \(\displaystyle\mathbb{R}^2\);[/*:m:3fxfnmpc]
[*:3fxfnmpc]costruisci un omeomorfismo tra \(\displaystyle\mathbb{R}^2\) e il disco aperto \(\displaystyle\mathbb{D}^2\);[/*:m:3fxfnmpc]
[*:3fxfnmpc]unisci (disgiuntamente) un punto a \(\displaystyle\mathbb{D}^2\) ed è fatta![/*:m:3fxfnmpc][/list:o:3fxfnmpc]
Si chiaro anche nel modo da te evidenziato otteniamo una biezione...ma vi torna che anche la mia "proposta" di mapping e' una biezione ?
Grazie.
Grazie.
"cianfa72":
non e' un omeomorfismo con l'immagine (sappiamo infatti che esso non puo' esistere).
Ma quindi cos'è che vuoi trovare? Non l'ho mica capito.
"otta96":
Ma quindi cos'è che vuoi trovare? Non l'ho mica capito.
Voglio trovare una biezione della sfera su un sottoinsieme del piano. Domando se la mia "proposta" di biezione e ' realmente tale.
Non si capisce praticamente nulla della costruzione che fai.
Per esermpio cosa vuol dire questo?
Per esermpio cosa vuol dire questo?
"cianfa72":
Dividiamo ciascun cerchio in 2 semicerchi per i poli
"otta96":[/quote]
[quote="cianfa72"]Dividiamo ciascun cerchio in 2 semicerchi per i poli
Si non sono stato chiaro: se tagli la sfera con piani $x=c , c>0$ ottieni dei cerchi. Tali cerchi intersecano il cerchio ottenuto tagliando la sfera con il piano $y=k$ passante per i poli.
I primi cerchi risultano così divisi a metà in 2 semicerchi: ad uno di essi assegniamo la coordinata $s=c$ e all'altro $s=-c$ con l'accortezza di associare il punto sul cerchio passante per i poli ad uno solo dei 2 semicerchi.
Tale costruzione condivide con il sistema classico adottato per la Terra la coordinata latitudine, tuttavia la longitudine è diversa così da non avere punti singolari dal punto di vista del mapping.
Cioè in pratica vuoi mandare $(x,y,z)$ in $(x+1,z)$ se $y>=0$ e $(x-1,z)$ se $y<0$?
Se si, la funzione è iniettiva.
Se si, la funzione è iniettiva.
"cianfa72":
[quote="otta96"]Ma quindi cos'è che vuoi trovare? Non l'ho mica capito.
Voglio trovare una biezione della sfera su un sottoinsieme del piano. Domando se la mia "proposta" di biezione e ' realmente tale.[/quote] Una biiezione e basta? Se sì, la risposta è banale, basta prendere un sottoinsieme del piano di cardinalità \(|\mathbb R|\)...
"megas_archon":
Se sì, la risposta è banale, basta prendere un sottoinsieme del piano di cardinalità \(|\mathbb R|\)...
ok si certo ma, se possibile, mi aiutate a capire se la mia proposta di mapping e' realmente una biezione?
Grazie
Come già detto, la tua descrizione non è chiarissima. Comunque ti devi sostanzialmente chiedere se stai mandando più punti nello stesso punto. L'iniettività è tutto ciò che serve per l'esistenza della biezione.
"vict85":
L'iniettività è tutto ciò che serve per l'esistenza della biezione.
Infatti, e' proprio da questo punto di vista che ritengo la risposta sia affermativa.
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