Esercizio sulla verifica della somma diretta.
Buongiorno. Ho il seguente esercizio:
In $K^3$, posto:
$W={(x,y,z) in K^3: z=0}$
$W_1={(x,y,z) in K^3: x=0, y=0}$
$W_2={(x,y,z) in K^3: y=0, z=0}$
$W_3={(x,y,z) in K^3: x=0, z=0}$
provare $W=W_3o+ W_2$, $K^3=Wo+ W_1$. Vi chiedo se il seguente modo di procedere è corretto.
Provo $W=W_3o+ W_2$.
In tal caso osserviamo che innanzitutto vale $W=W_3+W_2$, cioè $W_3+W_2subseteq W$ e $Wsubseteq W_3+W_2$, infatti è banale la seguente $W_3+W_2subseteq W$ (somma di due sottospazi è un sottospazio), invece, preso $(x,y,0) in W$ lo possiamo vedere come somma di un vettore $(0,y,0) in W_3$ e $(x,0,0) in W_2$, cioè $(0,y,0)+(x,0,0)=(x,y,0).$ Dunque è provata $W=W_3+W_2$.
Infine per provare che tale somma sia diretta, verifico che $W_3capW_2={0}.$
Quindi preso $(x,y,z) inW_3capW_2 to (x,y,z) in W_3, (x,y,z) in W_2$.
Dunque
affinché il vettore $(x,y,z)$ sia soluzione di entrambi i sistemi $S_1, S_2$ si deve verificare che $x=0, y=0, z=0$, cioé $(0,0,0) in W_3capW_2$.
Provo $K^3=Wo+ W_1$.
In tal caso osserviamo che innanzitutto vale $K^3=W+W_1$, cioè $W+W_1subseteq K^3$ e $K^3subseteq W+W_1$, infatti è banale la seguente $W_3+W_2subseteq K^3$ (somma di due sottospazi è un sottospazio), invece, preso $(x,y,z) in K^3$ lo possiamo vedere come somma di un vettore $(z,y,0) in W$ e $(0,0,z) in W_1$, cioè $(x,y,0)+(0,0,z)=(x,y,z).$ Dunque è provata $W=W_3+W_2$.
Infine per provare che tale somma sia diretta, verifico che $WcapW_1={0}.$
Quindi preso $(x,y,z) inWcapW_1 to (x,y,z) in W, (x,y,z) in W_1$.
Dunque
affinché il vettore $(x,y,z)$ sia soluzione di entrambi i sistemi $P_1, P_2$ si deve verificare che $x=0, y=0, z=0$, cioé $(0,0,0) in W_3capW_2$.
Va bene ?
P.S. ho supposto che il campo $K$ sia il campo dei numeri reali $RR$ dotato delle usuali operazioni.
In $K^3$, posto:
$W={(x,y,z) in K^3: z=0}$
$W_1={(x,y,z) in K^3: x=0, y=0}$
$W_2={(x,y,z) in K^3: y=0, z=0}$
$W_3={(x,y,z) in K^3: x=0, z=0}$
provare $W=W_3o+ W_2$, $K^3=Wo+ W_1$. Vi chiedo se il seguente modo di procedere è corretto.
Provo $W=W_3o+ W_2$.
In tal caso osserviamo che innanzitutto vale $W=W_3+W_2$, cioè $W_3+W_2subseteq W$ e $Wsubseteq W_3+W_2$, infatti è banale la seguente $W_3+W_2subseteq W$ (somma di due sottospazi è un sottospazio), invece, preso $(x,y,0) in W$ lo possiamo vedere come somma di un vettore $(0,y,0) in W_3$ e $(x,0,0) in W_2$, cioè $(0,y,0)+(x,0,0)=(x,y,0).$ Dunque è provata $W=W_3+W_2$.
Infine per provare che tale somma sia diretta, verifico che $W_3capW_2={0}.$
Quindi preso $(x,y,z) inW_3capW_2 to (x,y,z) in W_3, (x,y,z) in W_2$.
Dunque
$(x, y, z) in W_3 <=> $ $S_1:{ ( x=0 ),( y=t in K ),( z=0 ):} $
$(x, y, z) in W_2 <=> $ $S_2:{ ( x=p in K ),( y=0 ),( z=0 ):} $
affinché il vettore $(x,y,z)$ sia soluzione di entrambi i sistemi $S_1, S_2$ si deve verificare che $x=0, y=0, z=0$, cioé $(0,0,0) in W_3capW_2$.
Provo $K^3=Wo+ W_1$.
In tal caso osserviamo che innanzitutto vale $K^3=W+W_1$, cioè $W+W_1subseteq K^3$ e $K^3subseteq W+W_1$, infatti è banale la seguente $W_3+W_2subseteq K^3$ (somma di due sottospazi è un sottospazio), invece, preso $(x,y,z) in K^3$ lo possiamo vedere come somma di un vettore $(z,y,0) in W$ e $(0,0,z) in W_1$, cioè $(x,y,0)+(0,0,z)=(x,y,z).$ Dunque è provata $W=W_3+W_2$.
Infine per provare che tale somma sia diretta, verifico che $WcapW_1={0}.$
Quindi preso $(x,y,z) inWcapW_1 to (x,y,z) in W, (x,y,z) in W_1$.
Dunque
$(x, y, z) in W <=> $ $P_1:{ ( x=a in K ),( y=b in K ),( z=0 ):} $
$(x, y, z) in W_1 <=> $ $P_2:{ ( x=0 ),( y=0 ),( z=c in K ):} $
affinché il vettore $(x,y,z)$ sia soluzione di entrambi i sistemi $P_1, P_2$ si deve verificare che $x=0, y=0, z=0$, cioé $(0,0,0) in W_3capW_2$.
Va bene ?
P.S. ho supposto che il campo $K$ sia il campo dei numeri reali $RR$ dotato delle usuali operazioni.
Risposte
A me sembra ok
Usando le proprietà dei vettori e degli spazi vettoriali, la dimostrazione che hai dato è ok per qualsiasi campo e qualsiasi norma.
Se fai quella supposizione e ci aggiungi pure una norma euclidea, allora bastava notare che le coppie di spazi vettoriali sono perpendicolari
"Yuyu_13":
P.S. ho supposto che il campo $K$ sia il campo dei numeri reali $RR$ dotato delle usuali operazioni.
Usando le proprietà dei vettori e degli spazi vettoriali, la dimostrazione che hai dato è ok per qualsiasi campo e qualsiasi norma.
Se fai quella supposizione e ci aggiungi pure una norma euclidea, allora bastava notare che le coppie di spazi vettoriali sono perpendicolari
C'è solo un piccolo typo quando dici che un vettore di $K^3$ con coordinate $(x,y,z)$ lo puoi vedere come somma di $(z,y,0)$ e $(0,0,z)$. Per il resto è ok.
Buongiorno.
@ Bokonon grazie ! Quello che dici sulla perpendicolarità, fa parte di geometria 2 nel mio programma. Comunque grazie sempre per i consigli e per l'illuminazione
@ Feddy ho corretto, grazie !
@ Bokonon grazie ! Quello che dici sulla perpendicolarità, fa parte di geometria 2 nel mio programma. Comunque grazie sempre per i consigli e per l'illuminazione
@ Feddy ho corretto, grazie !
@Yuyu_13 Prego!
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